1樓：鍵山怜奈
考慮所有滿足以下條件的集合：對於任意 ，如果 ，那麼
顯然，這定義了乙個開集族。
相對地，對於兩個不同的偏序，一定存在 使得 但 ，這也就意味著 是乙個開集，但是對於前者，任意開集如果包含 則必然包含 ，所以這是乙個單射。
有窮集上的單射一定是滿射，所以綜上，這是偏序結構到拓撲的雙射
明顯不是滿射好吧，這樣構造出的拓撲結構必然是T0分離的，因為對於任意兩個不同的元素，取其極大元，則極大元定義的最小開鄰域將二者分離。。。。但是題目中的拓撲又沒有T0這個條件，那不T0的拓撲咋辦。。。
以雙元素集為例，其上的偏序結構總共有三種，其上的拓撲結構總共有四種，已經不等勢了喂。。。
題主確定是偏序結構而不是具有自反和傳遞性的二元關係嗎？如果是這樣的話，對於拓撲結構，直接定義 當且僅當對於任意 ，如果 則 ，那麼這顯然也是乙個單射，因為考慮集合 則它恰好是 ，同時對於非開集 ，如果它在逆像中，那麼
是乙個開集，與假定矛盾，因此這個對應關係是乙個雙射√
同理，T0拓撲和偏序結構是等勢的
2樓：拼勃向上
民科強答一波
對於X，定義x>y《=》任意x的鄰域，包含y，則有傳遞性和自反性，這就建立了拓撲和偏序關係的對映。
任取拓撲，證明存在偏序關係。任取偏序關係，證明存在拓撲，即可。
拓撲到偏序結構的單射是顯然的，現在證明滿射。
設X=｛xn｝，先取x1屬於X，依次根據偏序關係判斷x1是否大於xi，取｛空集，X｝為初始集合，依次填入Bj，其中Bj為所有不小於xj的元素，將｛空集，X，Bj｝擴張為拓撲，這是一定可以做到的。
因此，有拓撲和偏序關係的雙射存在。
如何證明乙個集合具有良序性？
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