1樓：來自虛空的Xetta
由於題目答案過於顯然，所以我們不妨給題目增加一點難度，把題目改為證明：
和 是有限迴圈群，設 是由自由積 確定的乙個群結構，滿足 ，若 是迴圈群則 。
證明：用反證法。假設 ，則有 ，且 不為素數，由於 為迴圈群，所以必定存在滿足 的迴圈群 和 ，使得 (由題主的原命題即可推出此結論)。
設 的素因分割為 (即m和n沒有相同的素因子)，而我們一定能找到一對素因分割使得:
取這樣的分割則必有 和 ，當然 和 的階反過來也是一樣的，因為外直積對群的運算是交換的。設 為 的同構對映， 的生成元分別是 ，我們立即得出 的同構生成元分別為
而 。考慮由 生成的群 ， 顯然是Abel群，故我們嘗試尋找可通過上述生成元基的線性表示 來表達的最小 和 (k和l分別都是最小的且都不為0)。分別對以上生成元Gauss消元得:
從而我們立即得到
所以 ，這與 矛盾，故必 。
Q.E.D
為什麼不能證明二者等價呢？因為反過來存在反例:
考慮 ,H=\left< (123)\right>" eeimg="1"/>，顯然 \left< (123)\right>" eeimg="1"/>並且 ||\left< (123)\right>|" eeimg="1"/>，但 |\bot|\left< (123)\right>|" eeimg="1"/>而 不是迴圈群。
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