1樓：
不能。 如果用選擇公理就比較簡單，但是想構造乙個具體的例子還蠻有趣的。
乙個具體的例子如下。
記A＝。 這裡面我們說乙個十進位制小數 0.a_1a_2...幾乎全是0，是說 ｜｜/m->1. 容易驗證A是R的Q子空間。
任意給你乙個小數 0.a_1a_2a_3...我們可以對應到乙個A中的數 0.a_10a_200a_3000...這個是單射，所以A和R等勢，不可數。
記B=. B是0測集。 A=並_} 1/n B仍然0測。 所以R\A不空。
2樓：幽谷野雞鳴
下面是我用選擇公理給出的構造。
在所有無理數間考慮關係~
如果a與1能通過有理係數線性組合成b
則記a~b
容易證明~是等價關係
故可將所有無理數依~分類
從每類中取乙個代表元
注意到每類元素均是1與代表元的有理係數線性組合故每類均有可數個元素
又可數個可數集的並還是可數集
故必有不可數個類
現取出所有代表元
這樣得到不可數個元素，且任兩個不可線性表示出1故本題結論是否。
關於~是等價關係的證明：
反身性：即a~a
由a=a*1+1*0即證
對稱性：即a~b推出b~a
事實上，由a~b知存在有理數x，y使得
b=a*x+1*y
由b是無理數知x不為零（之前的問題就出在這裡）上式兩邊同時除以x，即得b~a
傳遞性：即a~b，b~c推出a~c
事實上，由條件知存在x，y，z，w有理，使得b=a*x+1*y 且c=b*z+1*w
一式代入二式即得a~c
3樓：別走
答主高三不知道有沒有學過實分析，這個題目可以轉化成考慮如下兩個問題：
1是否存在乙個R上lebesgue零測集A是乙個不可數集。
2.A+A的hausdorff維數不會超過2倍A的hausdorff維數。
第乙個問題回答是cantor集，以及類似的分形構造出來的集合。
第二個問題可以採用broun minkwoski不等式處理。
特別的，取乙個hausdorff維數小於1/2的不可數集，注意到hausdorff維數小於1的集合都是零測的，所以這個結論是對的。
4樓：
回答：否。但是反例不好構造。
乙個解釋：
實數集R對於有理數集Q是不可數維的。對應的不可數的基存在而表達不出來。但是承認這個基存在之後，我們只需要取子集A是這個基刪掉幾個元素（仍然不可數）就行了。
補充：所以把問題中的「二元整係數線性組合」改成「有限元有理係數線性組合」，回答仍然是「否」。但是如果是允許用可列個線性組合那麼收斂的表達的話，那回答就是「是」。
集合論方面我是弱雞。。此回覆來自於某位大神。
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