1樓：
如果去看大學數學專業的課本，尤其是數學分析第一冊，就會發現它對很多習以為常的東西都進行了「規定」。
舉個例子，我們規定：2=2×2
怎樣理解2的上面加乙個小2就能表示2乘2呢？兩個數字疊加在一起怎麼會有意義？！
只不過是數學家為了更加方便地書寫、應用而進行的「規定」，有了這個「規定」，我們可以在幾何中用代數的方法來計算角度。
而且，為何2×2就是兩個2相加呢？這也是數學家的「規定」，而且學數學是從代數開始的，對於這種乘法的「規定」是先入為主的，所以到了解析幾何這裡就很不適應。
2樓：智商稅
因為平面向量的「數量積」並不是真正的乘法，它的方向規則完全不是乘法，而是「夾角的余弦值」。
用題主的話更能解釋通的是複數乘法。複數 的乘法很自然地定義成 。大小是相乘的；但把方向放在指數字置以後乘法就是方向加方向，即兩次旋轉的疊加。
複數和二維向量一一對應。 所對應的二維向量的數量積自然滿足 =\rho_1\rho_2\cos(\theta_1-\theta_2)" eeimg="1"/>，可以整理成 ，當然更簡潔的方法是
3樓：K歌的司空陶宜
類似的糾結還有「為什麼兩個向量相加可以符合三角形法則，明明三角形兩邊和大於第三邊啊……」。注意定義！！！學數學千萬不讓自己囿於感覺直觀，被固有偏見束縛住……
4樓：
你得搞清楚你想要理解什麼。在數學裡，假如你還不知道數量積，那麼你不僅可以把它定義為乙個數，還可以定義為乙個三角形，或者定義為你昨天穿的襪子，都行。
5樓：天下無難課
先釐清一下問題，這個數量積是指兩個向量的點積或內積吧？而不是指乙個數量與乙個向量的乘積，對吧？
「方向乘方向怎麼會有意義」，這個問題有兩層錯，乙個是向量之間的點積是陣列之間的運算，並不是「方向」之間的運算。根本都錯誤在於把線代裡的向量是有方向的量這個這個說法的實質理解錯了。
線代裡的向量本質上不是啥有「方向」的數量，而是陣列，是n個數量按順序(放在不同的維度上)放在一起，形成的乙個陣列。然後對這個陣列做任何操作時，對每乙個數量的操作規則是一樣的，比如乙個n維向量就是乙個又n個數量的陣列，如果這個向量乘上乙個數字，就是把這個陣列裡所有數量都乘以這個數字；而如果是兩個向量相加，則就是每乙個對應維度上的數量相加。乙個向量乘以乙個數量(只有乙個數字)和向量之間的相加，這兩個運算就是所有線性代數運算的基本內容。
內積(點積)運算是兩個陣列之間的一種乘積運算，運算的方式(程式)有特別的規定。它與向量「和」運算類似的地方在於「乘法」運算只發生在同維度的數量之間，陣列裡處在不同維度的數量之間不發生乘法運算。不同之處在於，向量「和」運算後，運算就結束了，得到的還是乙個向量，只不過每乙個維度上的數量成了參與運算的向量的同維度的數量和；而向量點積(兩個向量之間的乘法)在同維度數量做乘法後，還要再做一步運算，就是把所有的維度的乘積在加到一起，成為乙個總數量。
這樣，向量(陣列)就轉變成了數量(只有乙個數量的陣列，一維陣列，一維向量)。這裡根本就沒有「方向」什麼事。
「方向」是什麼？方向就是陣列裡各個數量之間的比例關係。向量在做點積時，並不是在方向乘方向，不是比例在乘比例，而是乙個陣列裡的數量在乘另外乙個陣列裡同樣順序位置的數量，然後把乘積彙總。
這個向量(陣列)的運算結果得到乙個數量，不再是陣列了。
這個彙總的數量正好是這兩個陣列的「長度」的乘積再乘以它們之間的夾角θ的余弦，在3維以內你可以把它理解為乙個向量a的長度(|a|,又名模)在另乙個向量b上的投影長度(等於|a|cosθ)與b的長度(|b|,模)的乘積。
沒有「方向乘方向」這件事，有的只是兩個陣列之間按「點(內)積」規則做的數量乘法和彙總運算，運算的結果在3維里有很直觀的幾何意義。
我們知道，向量之間的乘法不只是有點(內)積，還有另外一種，就是叉(外)積，那又是另外一種運算規則，兩個向量做那種乘法運算的結果是另乙個向量(陣列)，而不是乙個數量了。陣列的乘法花頭硬是比數量乘法的多啊。
順便說一下，向量的點積是一種不封閉的運算，就是說，運算前人家都是向量(陣列)來著，可經過這一乘，結果就出圈了，就不再是陣列(好幾個數字)了，而是成了單個數字了，n維的傢伙被降到1維了。而向量的叉積則是封閉的，算來算去還是向量(陣列)，量變質不變，還在n維向量的圈子裡混。
補(20200518)：再多扯兩點。
1.向量空間的元素包括兩個集合，乙個是數字，乙個是陣列(從集合，群，環，域和空間的搭建過程看的話，就容易知道這麼說是啥意思)。向量的點積是向量運算，結果超出了向量這個集合，到了數字這個集合裡，但還在向量空間中。
所以，點積這個運算對向量這個集合是不封閉，但對向量空間還是封閉的，結果還在空間中。
2.叉積是向量運算，結果也還是向量，這點與點積不同。但點積在整個n維空間都是可定義的，可運算的，有結果的，但叉積貌似只能在3維里可以用。
在二維裡沒有叉積存活的空間，超過3維後，「右手法則」無法幫助判斷叉積結果的方向，而且沒法用行列式計算的辦法來算出乙個結果來。
叉積的適用範圍(只在3維)這事好像沒人說。
還有，本題「平面向量」的提法中，「平面」二字沒意義的，只要是兩個向量點積，結果都是乙個數，無論是不是在乙個平面中。而實際上，任何兩個向量之間都可以被視為在乙個平面裡，只有超過2個向量(至少三個)後，才存在這組向量是否在乙個平面裡的問題。
6樓：空白
向量本就是從物理中抽象出的乙個概念，向量的點積與叉積更是與物理密切相關。數學世界的很多定義都源自於物理，怎能完全擺脫物理！？
攝影中的焦平面是乙個平面嗎？
xdkaivwaonql 焦平面是乙個面，是焦點所在最清晰的那層平面，但受鏡頭素質和光圈大小的影響，實際清晰的部分在焦平面前後範圍波動較大，如果是大光圈時可能僅焦點所在平面是實的，焦平面前後都是虛的，這時精準對焦就極為重要了，而光圈較小時焦平面前後較大範圍都是較清晰的景深範圍內，此時可以在一定程度上...
乙個向量組線性相關，能否得出這個向量組的部分組也線性相關這個結論
天下無難課 乙個向量組線性相關是啥意思？就是指這一組 n個 向量裡的任何乙個向量都能被其它n 1個向量的線性組合 每個向量各自乘乙個為常數的係數，然後再全部加起來 表示出來。假設乙個情況，在乙個n維空間，有n個基向量，它們一定是線性無關的啦。但若這個線性無關的向量組裡再加入乙個不在任何乙個基上的向量...
只由乙個非零向量組成的向量組是不是線性無關，為什麼？
線性無關。沒有為什麼，就是定義。定義裡沒有要求向量組裡向量個數必須大於1。補充一句吧，線性無關的定義是 若向量組的某個線性組合等於0，恒能推出每乙個向量的係數都是0。或者說，線性組合中只要某個係數不為0 每乙個向量只出現一次 那麼線性組合就不為0。線性相關的意義是，可以在裡面去掉某些向量，使任何原來...