1樓：
如果 是閉的，那麼定義
因為 是閉的, 。有因為只有可數多對有理數， 是可數的。由 的定義， 的閉包等於 .
同樣如果 是可數多個閉集的並，那麼這個結論仍然成立。
對於一般的集合 ，需要用選擇公理。對於每一對有理數 定義 為某個 中的元素（如果它們存在，否則無定義）。為這些點組成的集合。那麼 並且有相同的閉包。
2樓：我是誰
考慮由R上的度量誘導的拓撲空間(R,T1),F是R中任一閉集，F作為子空間的拓撲為T2.由於R滿足第二可數公理，故F是可分空間，因此有F中的可數集E，在拓撲空間(F,T2)中的閉集為F.
在拓撲空間(R,T1)中E的閉集包含於F,故E在(R,T1)中的閉集等於F.
3樓：孟謙
應該是對等與F吧
設不可數集F的基數為c，E的閉包為導集和孤立點所組成的集合的並，所以E的閉包也是不可數集，又因為E為F的子集，根據伯恩斯坦定理，E的基數也是c，所以二者對等。
4樓：Eric
不可數集F應該要求是閉集，因為任何集的閉包是閉集。那麼問題應該修改為R中任意不可數的閉集是否一定是可分的。而根據定理度量空間是可分的充要條件為具有可數基，問題轉化為第二可數性公理的證明。
而R是第二可數的，F上的可數拓撲基可以用R中的拓撲基和F作交獲得，因此問題的答案是肯定的。
如何證明從乙個無限可數集的冪集為不可數無限集？
根據康托定理得到可數集的冪集與可數集不等勢。顯然存在乙個單射，從而可數集的冪集是無窮的，無窮並且不是可數的，於是是不可數的。康托定理的證明和羅素悖論有關。 Orion 看到樓上有人在證明自然數的冪集不可數，我也來湊個熱鬧。這個證明是我在馮琦的 數理邏輯導引 裡看到的，其實這就是康托爾的對角線法，但表...
可測集與可列集關係嗎？不可測集是不是一定不可列？
辛辛 可測集是針對於某乙個測度定義的。我們稱乙個集 為 可測的，如果它滿足對於任意的 有 所以對於乙個集，可能關於 可測，但關於 不可測。當 為Lebesgue測度時，可列集一定是可測的，並且測度為0。相反的，不可測集一定不可列。 可測集就是有測度的集合，通常有三種定義 內測度 外測度 能用含於其中...
任意乙個實數集的不可數子集的「二元整係數線性組合」是否一定能覆蓋整個實數集？
不能。如果用選擇公理就比較簡單，但是想構造乙個具體的例子還蠻有趣的。乙個具體的例子如下。記A 這裡面我們說乙個十進位制小數 0.a 1a 2.幾乎全是0，是說 m 1.容易驗證A是R的Q子空間。任意給你乙個小數 0.a 1a 2a 3.我們可以對應到乙個A中的數 0.a 10a 200a 3000....