1樓：Ligeia
題目應該是證明可數集的無限子集都是可數集嚴格證明就是以下：
把可數集寫為sequence of distinct terms設定子集E裡最小序數的元素（有最小可以用lub property說明）
選擇公理與數學歸納法構建子集序數的良序集
就能定義乙個f:N→E
明顯是雙射（ 1..滿射，用glb property構建2 . well-defined 3.單射，distinct terms），
可數集的無限子集是可數集，可數集是最小的無限集。
(原諒我完全不會用Latex)
2樓：beanandbean
遇事不決，查詢嚴謹定義。
「可數集「的標準定義是：集合 可數當且僅當存在從 到自然數集的單射 。
假設集合 可數，且有子集 ，那麼存在單射 。易於證明 在 上的限制函式 也為單射，故 是可數集。
3樓：對對對
是的。若A可數，顯然它的任何子集B都可數。將一列元素拿掉其中幾個(比如將整數集拿掉偶數集)，依然是排成一列的。
若A有乙個不可數子集，那麼A一定不可數。這是上面的逆否命題。
嚴格的證明只需要說明:‖N‖＝‖A‖≥‖B‖
如何證明從乙個無限可數集的冪集為不可數無限集？
根據康托定理得到可數集的冪集與可數集不等勢。顯然存在乙個單射，從而可數集的冪集是無窮的，無窮並且不是可數的，於是是不可數的。康托定理的證明和羅素悖論有關。 Orion 看到樓上有人在證明自然數的冪集不可數，我也來湊個熱鬧。這個證明是我在馮琦的 數理邏輯導引 裡看到的，其實這就是康托爾的對角線法，但表...
R中的不可數集F，是否一定可以找到F的可數子集E，使得E的閉包等於F？
如果 是閉的，那麼定義 因為 是閉的,有因為只有可數多對有理數，是可數的。由 的定義，的閉包等於 同樣如果 是可數多個閉集的並，那麼這個結論仍然成立。對於一般的集合 需要用選擇公理。對於每一對有理數 定義 為某個 中的元素 如果它們存在，否則無定義 為這些點組成的集合。那麼 並且有相同的閉包。 我是...
任意乙個實數集的不可數子集的「二元整係數線性組合」是否一定能覆蓋整個實數集？
不能。如果用選擇公理就比較簡單，但是想構造乙個具體的例子還蠻有趣的。乙個具體的例子如下。記A 這裡面我們說乙個十進位制小數 0.a 1a 2.幾乎全是0，是說 m 1.容易驗證A是R的Q子空間。任意給你乙個小數 0.a 1a 2a 3.我們可以對應到乙個A中的數 0.a 10a 200a 3000....