1樓：Walter Huang
補充：本證明是需要Heine-Borel定理，不是一般情況。
也不請自來，也強答一波。
題目問有界閉集的無窮子集的極限點是否落在集合內。 @Richard Xu給了證明
而關於極限點是否落在無窮子集內， @周馳也給了反例。
我想再談下在R^k中的存在性，即R^k中任何無窮子集（在這個有界閉集中）是否一定有極限點。答案也是肯定的。
記有界閉集為K，無窮子集為E。
假如無窮子集E在有界閉集K中沒有極限點，則有界閉集K中的每個點都存在乙個鄰域，這個領域與無窮子集E最多只有1個交點即這個點本身。而有界閉集K中所有點的這種鄰域的並是有界閉集K的乙個開覆蓋，而任何有限個這種領域只能包含無窮子集E中有限個點，故無法包含無窮子集E的，自然也沒法覆蓋有界閉集K。又由於在R^k內，有界閉集K是緊緻的，我們可以找到有限個領域，使得它們的幷包含有界閉集K。
矛盾。謝積極老鼠指正，這裡的緊緻性需要Heine-Borel定理保證。
2樓：Richard Xu
極限點如果在集合外，由於是有界閉集，所以極限點的乙個鄰域和有界閉集的交為空，不可能在鄰域內有有界閉集的子集中的點，矛盾。
可數集的子集都是可數集嗎，如何證明？
Ligeia 題目應該是證明可數集的無限子集都是可數集嚴格證明就是以下 把可數集寫為sequence of distinct terms設定子集E裡最小序數的元素 有最小可以用lub property說明 選擇公理與數學歸納法構建子集序數的良序集 就能定義乙個f N E 明顯是雙射 1.滿射，用gl...
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原味 如樓上答主所說，可以視作 歐氏空間的緊凸集同胚於單位閉球 的推論。補充乙個以前寫過的詳細點的證明 邊界應該還有更強的正則性，比如實分析告訴我們R上的凸函式幾乎處處二階可導。 David KZ 首先，平面上乙個閉凸集的面積大於零，說明該集合的仿射包一定是全空間，從而一定具有內部。因為凸集的性質導...
度量空間中，子集 A 的聚點集 A 的閉包的聚點集嗎？
101.開飯啦 謝妖！受寵若驚。這麼高質的問題能邀我，萬分感謝題主看得起，實是老夫一大榮華，再次感謝。實為抱歉，我高中都沒畢業，這題是真不會。我會加倍努力，爭取有生之年搞懂題主在問什麼。再謝邀。 dhchen 結論上講 是對的，但是 是錯的。首先 顯然成立，你只需要證明相反的包含關係就可以證明第乙個...