1樓：原味
如樓上答主所說，可以視作「歐氏空間的緊凸集同胚於單位閉球」的推論。補充乙個以前寫過的詳細點的證明
邊界應該還有更強的正則性，比如實分析告訴我們R上的凸函式幾乎處處二階可導。
2樓：David KZ
首先，平面上乙個閉凸集的面積大於零，說明該集合的仿射包一定是全空間，從而一定具有內部。因為凸集的性質導致其一定有相對內部，面積大於零就確保了凸集的維數。
乙個二維的有界閉凸集的邊界一定是簡單閉曲線。不僅如此，乙個n維的有界閉凸集的邊界一定同胚於n維球面。而且，我們可以構造地證明這一點。
只需要把凸集平移使得原點在凸集內部，那麼從原點出發的任意一條射線一定只與凸集邊界交於一點。否則，由於原點在凸集內部，則有乙個邊界點在另乙個邊界點與原點的連線上，而根據凸集性質，這根連線除了兩端點都在凸集(相對)內部，這就矛盾了。又由於題設凸集有界，我們也就構造了任意方向的射線與凸集邊界上的點的一一對應，也即單位球面的點與凸集的一一對應。
下面說明連續。取閉凸集邊界上的乙個開集A，容易證明其對應的射線的並是乙個開的錐。記錐為K，取錐上的乙個點a，一定對應閉凸集邊界上的乙個點a'，則存在該邊界點a'為心的開球B(a')，使得B(a')完全包含在錐K裡。
假設不存在，那我們就找到了一列趨於a'的點列a_n，且a_n不屬於錐K。我們過原點向這些a_n做射線與邊界的交點a_n'也就不在開集A中且趨於a'而這與a'是開集A中的點矛盾。從而我們找到了B(a')，沿著射線射影變換到以a為中心的開球也在錐K裡於是錐K是R^n中的開集。
從而錐K交單位球得到其上的開集。由於單位球也是有界閉凸集，反過來一樣成立。於是兩個方向對映都是連續的了。
綜上我們構造地證明了兩者同胚，此時原問題就是該結論的乙個推論。與簡單閉曲線同胚的流形也是簡單閉曲線，而二維單位圓是乙個簡單閉曲線。
應該也可以不用同胚這樣的工具，直接構造這樣的閉曲線也是可以的，這裡是想推廣到有限維，說明有界閉凸集是多麼好性質的一種集合，好到可以當作單位球來處理。
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