1樓：
可以參考著名的Bott Tu, 一些數學分析教材裡大概也有證明，例如Zorich或者Rudin，除此之外，一般講光滑流形的書應該都有證明。下面的證明是從Arnold 的《經典力學中的數學方法》抄的。
對於，考慮其上的鏈(chain)，可以要求具有一定的光滑性，另考慮微分形式，我們可以做積分定義，即把 對映成從原點連線到所構成的錐。然後我們可以定義也即定義了
注意到對於迴圈(cycle,)，，因此由Stoke's theorem，對任意-迴圈若為閉形式，，因此，，也即為恰當形式。
2樓：竹官子
Poincaré』s Lemma
對於微分1-形式(differential 1-form) 而言龐加萊引理等價於星型域上若形式場的偏導互相相等，即 , 則ω是exact的其實就是多元微積分中判斷保守場條件的乙個特殊情況
這裡給出乙個對於微分1-形式的簡單證明，資料來自ZJUI MATH241 Thomas Honold教授
星形域的定義：
Proof of l = 1:
流形上的微分形式有何深層次意義？
1.自然界很多物理規律相關的式子可用反對稱張量場描述，比如有質量向量粒子場的形式 手徵反常對應的拉氏量，微分形式可以簡化表述 2.反對稱張量的形式可以保證微分形式的次數低於流形的維數，這樣自然能有後面Hodge對偶等內容 3.微分形式可使體元自動具有定向性，這與微積分的曲線 曲面積分體元具有方向性相...
如何評價 Rudin 微分形式的積分這一章？
玻里尼西亞 我花了乙個星期的時間把rudin的這本書看到chapter10,前面基本都是一天一兩章的進度，不過只是看了所有的教材內容，定理證明，基本沒做習題，看到第十章的時候看了兩天進展很慢，中間一度放棄去看了視覺化復分析那本書放鬆，還是解析函式的東西讀起來舒服，大概是作為學渣天然對複雜的函式和抽象...
微分形式有什麼實際上的用處？難道它僅僅是為了乙個表示形式上的方便嗎？相關內容的書籍有什麼推薦？
Andy 11 動因應該是嚴格定義微分流型上的被積項，譬如三維子流型上被積項只能是3 form，同時也直接的給出了定向。乙個簡單的例子就是流型上的stokes公式，其form形式成為了所有green公式等微積分三公式的一般形式。另外關於流型拓撲結構的樓上已經提到了就不再贅述。 除了簡化統一了很多定理...