1樓：
1. 自然界很多物理規律相關的式子可用反對稱張量場描述，比如有質量向量粒子場的形式、手徵反常對應的拉氏量，微分形式可以簡化表述
2. 反對稱張量的形式可以保證微分形式的次數低於流形的維數，這樣自然能有後面Hodge對偶等內容
3. 微分形式可使體元自動具有定向性，這與微積分的曲線、曲面積分體元具有方向性相符，而且可以自動保證微分形式的積分形式具有座標變換（座標繫手性不變）下的不變形
2樓：史詩生物
依使用環境，對微分形式的看法有許多層面。
1）就其定義而言，微分形式就是協變全反對稱張量。對於大部分物理問題，這個認識已經足夠了。有了這個觀點，就可以用 Levi-civita 聯絡對微分形式（的分量）求協變導數，用來表示場強張量以及所有規範不變的組合，以及對這些組合的求導。
2）當把微分形式看成幾何物件後，其分量的全反對稱性自動引出方便的外微分運算元。很多時候，面對協變全反對稱張量，這個微分形式的語言提供很方便的計算。比如流形度規曲率和撓率的計算可以用標架以及 Cartan 結構方程進行計算，或者用 Hodge 算符來描述張量的縮並。
就此而言，微分形式是一套方便的計算方法，就像一套高階程式語言，自帶許多方便的函式。當然這一切均可以用 Levi-civita 聯絡來完成。
3）只要流形是微分流形，就有微分形式。從這點看，全體微分形式蘊含了流形的大量資訊，尤其是其拓撲資訊，以及微分拓撲資訊。形象地說，因為微分形式很柔軟，就像流形上的區域性座標線，當流形形變（但保持拓撲、微分拓撲資訊），微分形式也可以跟著變動而不發生撕裂，因此它們很適合用來表徵流形的拓撲和微分拓撲資訊。
但是全體微分形式太多，要從中提煉出有用的資訊，就要細緻地利用微分形式的全反對稱性、外微分算符、Hodge 算符等，構成 de Rham 復型，然後可以用來表達流形的拓撲資訊。從這點看，微分形式是流形幾何的攜帶者。
4）微分形式與其他由微分結構確定的物件有緊密聯絡。比如切叢，還有旋量。比如選取正交歸一基底後，每個微分形式也可以看成旋量，正交歸一基底可以看成是 Gamma 矩陣。
5）微分形式可以與黎曼積分進行結合，定義出流形上的積分，並自動滿足斯托克斯定理。這個又使得微分形式與流形的閉合子流形構成對應，看成是線性化子流形空間（奇異復型）的線性函式。這與3）呼應，給出微分形式與流形拓撲的直接聯絡。
6）微分形式也可以與流形上的其他結構結合，比如與向量叢結合，構成向量值微分形式。自然地，全體向量值微分形式蘊含了向量叢的拓撲資訊。要提取這些資訊，可以通過構造各種示性類來實現。
7）微分形式不僅攜帶流形最基本的資訊（拓撲、微分拓撲），還可以用來表徵額外的幾何資訊，比如是否 Kahler。因為額外的幾何結構一般會誘導一系列相關的微分形式，並且這些微分形式會被迫滿足某種微分方程。比如當流形攜帶了厄公尺結構，就可以定義 Kahler 形式，且必然是非退化。
這個厄公尺結構要成為 Kahler 結構，要滿足微分方程 。因此 Kahler 結構必然導致辛結構，要求。這就暗示了有些流形不能攜帶 Kahler 結構，倘若。
因此滿足某微分方程的微分形式的存在性控制了某類幾何結構的存在性。
8）要運用微分形式，得先熟悉基本的張量計算。雖然微分形式的語言有時可以讓簡單的計算變得更簡單，但是並不能把複雜的計算變簡單。這對於研究物理問題尤其重要；事實上物理問題很少真的用到微分形式來求解，頂多是用作求解後的表述。
測度論微分形式有何關聯？
null 以下截圖至 Klaus Janich 的 Vector Analysis.交錯多重線性型與 i 判定線性無關 ii 選定向量空間的方向 iii 行列式和平行體的體積參考這個回答.補充 Gram 行列式 使用相同的記號,設矩陣 使得 即對應第 列向量.使用內積得到 於是 維平行體的體積 設 ...
如何證明平凡流形上的微分形式如果是閉的，則必是恰當的
可以參考著名的Bott Tu,一些數學分析教材裡大概也有證明，例如Zorich或者Rudin，除此之外，一般講光滑流形的書應該都有證明。下面的證明是從Arnold 的 經典力學中的數學方法 抄的。對於，考慮其上的鏈 chain 可以要求具有一定的光滑性，另考慮微分形式，我們可以做積分定義，即把 對映...
微分形式有什麼實際上的用處？難道它僅僅是為了乙個表示形式上的方便嗎？相關內容的書籍有什麼推薦？
Andy 11 動因應該是嚴格定義微分流型上的被積項，譬如三維子流型上被積項只能是3 form，同時也直接的給出了定向。乙個簡單的例子就是流型上的stokes公式，其form形式成為了所有green公式等微積分三公式的一般形式。另外關於流型拓撲結構的樓上已經提到了就不再贅述。 除了簡化統一了很多定理...