1樓：null
以下截圖至 Klaus Janich 的 Vector Analysis.
交錯多重線性型與 (i) 判定線性無關 (ii) 選定向量空間的方向 (iii) 行列式和平行體的體積參考這個回答.
補充 Gram 行列式: 使用相同的記號, 設矩陣 使得 , 即對應第 列向量. , 使用內積得到 , 於是 .
維平行體的體積
設 是一組線性無關的向量, 張開 維子空間 和 維平行體 . 令 繼承 的內積結構 (長度結構), 取 的規範正交基 , 則有內積空間同構: .
定義 維平行體 的體積為 在 中的體積. 設 使得 , 於是 . 於是 的體積 , 使用 Gram 行列式表示為 . 因為 是保內積的, 所以是 .
流形切空間上的交錯多重線性型
流形的定向
流形上的積分可以積分的東西是?
對於流形上的函式 , 選定乙個 chart , 流形拉回到 chart downstairs 有積分 . 對於另乙個 chart , 在 chart 變換 下, 積分式不同. 根據變數替換公式
沒有全域性光滑內積結構時, 一般的 form 代表什麼?
沒有全域性光滑內積結構時, 對一般 form 嘗試定義積分
設 維向量空間 上的 form , 設 的兩個基 , 設基變換矩陣表示 . 根據行列式的定義展開計算
在流形上 chart 變換對應切空間的自然基 的變換, 所以直接根據 得到對
保向的 chart 使得 0" eeimg="1"/>. 如果給 form 強行加上絕對值, 就成為 density, 而不必流形的定向.
最直觀的例子是 的子流形上的 volume form.它在切平面上的正向規範正交基的值是 , 代表測量子流形的有向體積.
volume form 存在唯一性繼承 的內積, 取 維子空間 的正向規範正交基 . 由於 , 所以輸入 輸出 的 form 存在且只有乙個. 而且其他規範正交基的輸出值也是 , 因為轉換矩陣的行列式是 .
這個 volume form 就相當於內積空間 上的行列式.
volume form 光滑性取子流形 的 chart , 計算 volume form 的係數: 輸入值, 的基 得到張開 維平行體的體積
因為 是在 光滑的 (子流形 chart), 所以係數確實是光滑的. 而且
積分類似於計算引數曲面的體積. 如果給 volume form 加上光滑變化的乘法伸縮, 則也可看作曲面積分.
流形上自然匯出的 sigma 代數結構 .
設 維流形 . 其子集 是可測的 (零測的) 定義為: 對每個 chart 都有 是 的 Lebesgue 可測集 (零測集).
等價的定義是存在一族覆蓋 的 chart 使得 是 的 Lebesgue 可測集. (特別地, 流形的開集都是可測集.) 流形的所有可測集構成了乙個 sigma 代數.
根據流形是第二可數拓撲空間, 流形 存在乙個 chart domain 可數拓撲基. 可以證明所有流形可測集組成 sigma 代數 .
雖然還沒有測度, 但已經可以用 form 定義積分.
其中 代表 chart 對應的第 個標準切向量, 對 有 .
可以證明這種定義和單位分解型定義等價. 可參考這篇文章.
然後是測度. 如果存在 form 使得 且區域性可積, 或者用 density, 則可以匯出測度空間 .
後面那個等式中 if and only if 的證明需要先處理一般測度空間的加權積分: 設測度空間 , 對 可測函式 匯出的測度 , 有: 對映 是 可積的, 當且僅當, 是 可積的.
且此時 . 可參考這篇文章.
Riemann 流形的內積匯出的 volume form . 匯出的測度通常稱為 Riemann 測度.
2樓：
在黎曼流形上看漂亮一點。
考慮維黎曼流形，設在座標卡上有標準正交基，，，若，設然後再找乙個非負單位分拆，定義 ，驗證良定性，得到正線性泛函
其中表示上具有緊支集的非負連續函式構成的線性空間。 於是由Riesz–Markov–Kakutani表現定理，上存在唯一正則博雷爾測度使得
任取一點，考慮割跡內部，此時在下為零測集，於是我們有. 而總是可定向的，此時我們可以找到上微分形式在上成立。因此，此時有其中是上的體元，代表切空間上的割跡內部。
這和我們在多元微積分裡面學到的區別不大。
另外有了上述觀察，如果給定截面曲率條件，用Fubini定理可以將體積比較問題轉化為Jacobi場的比較問題，Rauch比較定理（或者二階線性常微分方程的比較定理）得以應用。
3樓：圖騰
給定乙個n次微分形式類似於給出了流形上求體積的概念，這會誘導流形上的乙個測度。
當然這裡還是有一點區別的，嚴格的來說對應的是有向體積，density對應的才是體積
技術上講，可以由Radon Nikodym Lebesgue定理誘導乙個Borel測度。
4樓：C.Jie
說乙個簡單的聯絡吧，流形是區域性同胚R^n的，所以區域性緊，另外還存在乙個單位剖分，這個的作用後面把各個鄰域上的n-形式粘起來
如果是n維可定向緊緻微分流形 ，那我們在任意乙個座標卡(u,x^1,x^2…x^n)上面我們可以定義出乙個體積形式dV=dx^1∧…∧dx^n, 我們還可以寫出很多具有a(x)dV這種形式的n-形式，而dV某種意義上就可以看成流形上的「有向體積"，因為它在某些「不太壞"的子集上積分(可以模擬R^n時積分的這個dx1∧…∧dxn因子，在一些集合上積分算出來的值就是這個集合的「體積")，我這裡說不太壞主要是為了好算！
實際不太嚴格地講此時的體積形式dV就可以看成乙個符號測度，因為流形可定向，dV可正可負，所以不是嚴格意義上的測度！
5樓：Yuki Yuna
事實上，對任何區域性緊拓撲空間 ，由Riesz表示定理都存在乙個Borel測度 ，由於任何流形都是區域性歐式的，從而必然區域性緊，因此這樣的測度一定存在。
對於 維可定向緊緻微分流形 ，我們有 ，因而其所有全空間積分非零的 -形式的空間是一維線性空間，因而我們可以選取其中任意乙個 -形式 ，其積分就給出了典範的測度。
對於非緊的可定向微分流形 ，我們考慮 上所有緊緻支集的微分形式空間 ，它的對偶空間中在恰當形式下積分為 的元素都給出了 上的測度。通過簡單計算我們知道這也是一維的，從而也存在典範的測度。
在李群上這個構造更加簡單：任何李群都存在左不變 -形式，這個不變形式就給出了李群上的測度。
流形上的微分形式有何深層次意義？
1.自然界很多物理規律相關的式子可用反對稱張量場描述，比如有質量向量粒子場的形式 手徵反常對應的拉氏量，微分形式可以簡化表述 2.反對稱張量的形式可以保證微分形式的次數低於流形的維數，這樣自然能有後面Hodge對偶等內容 3.微分形式可使體元自動具有定向性，這與微積分的曲線 曲面積分體元具有方向性相...
測度論和泛函分析有什麼關係？
EVAN SUN 說個最淺顯的，兩個可測函式的f和g的內積其實可以當作是乙個泛函，而這個內積的運算一般來說是它們乘積的勒貝格積分。實際上對任何函式空間來說，要定義什麼有界線性運算元的話，多少都和內積有關。我好久沒看實分析還有泛函分析的書了，所以能記住的人也就這麼多。 已登出 乙個很明顯的特徵就是實分...
概率論或測度論與拓撲學有什麼交叉的研究方向嗎？
有人說了關於TDA和隨機單形的方向，下面是一些補充。大多數人說TDA topological data analysis 的時候說的都是persistent homology的資料分析。大意是一種在空間中的大資料點集中找尋幾何性質的方法。用的是同調論和同倫的工具，所以找尋的 幾何性質 是betti數...