1樓：Yggdrasil
這學期上課的教材
特點是封面非常可愛（
講解比較簡單，內容也不多，習題也都有提示，感覺很適合自學和入門。Lee的書比較厚可以作為參考，反正多翻翻兩本書總沒錯。
封面真的很可愛
2樓：
我碩士是做非線性泛函分析方向，博士轉為數理經濟與數理金融（實在是因為代數拓撲學得太差，難以進入博士層次的非線性泛函分析研究），可能微分幾何學得沒有十分深入，但畢竟非線性泛函分析對微分幾何是有一定要求的（儘管要求不高，但起碼向量叢與聯絡、測地線、雅可比場、微分形式的積分這些基礎的概念和定理還是要理解、掌握的）。我印象特別深的三本書是：
1.《數學分析：第二卷》卓里奇，有關向量分析與流形上的微分形式的介紹，非常通俗易懂，並且不容易忘記，我覺得這是這本書在數學系裡如此出名的原因。
但是看這本書之前最好先學過一邊高等微積分，適合高年級本科生看。我能力一般，是大三下半學期開始看的。能力比較強的同學在大二下學期就開始自學這本書。
2.《黎曼幾何》Do Carmo，被幾何人吹爆的一本書，我當時研一旁聽的黎曼幾何課程，用的這本書，學習了前六章，對我來說基本就夠用了。現代微分幾何的快速入門書。
適合低年級研究生閱讀。另外這裡順帶提一下，數學系研究生期間建議多旁聽，少選課，不然期末應考壓力巨大。
3.《Morse理論》John Milnor，作者是微分拓撲學與動力系統界的究極大佬，菲爾茲獎、沃爾夫獎得主。這本書是介紹臨界點理論與大範圍變分法最經典的書籍之一，除了學習幾何之外，對於非線性泛函分析是極為重要的參考書。
難度比上面一本稍微難一點。
其他：《曲線與曲面的微分幾何》Do Carmo，幾何直觀想象能力不行的話，閱讀《黎曼幾何》Do Carmo的時候可以回顧這本比較「初級」的書。（其實這本書內容並不初級）
《微分幾何與拓撲學簡明教程》公尺先柯（俄）。這本書是一本比較好的「快餐讀物」，涉及面廣，可以用這本書來進行快速複習。
國內教材的話，物理系的同學經常在用梁燦彬老爺子的《微分幾何與廣義相對論》（共三冊，從微分流形基礎講到纖維叢理論），我也親身旁聽過老爺子（現在都快成「網紅」了）的幾節課。這本書寫得還是很不錯的，老爺子講解也很清楚，但更適合物理系的應用，數學系看還是不太夠。
P.S.不推薦陳維桓的《微分流形初步》。
這本書就是資料和公式的堆疊。我第一次翻這本書的時候，我幾乎所有感興趣的地方這本書都有，是的，但要麼是一筆帶過，要麼就是一堆密密麻麻的公式。可能陳老覺得國內學生數學基礎都太好了吧，「顯然」的東西就不說了。，
3樓：Yuki Yuna
Frank W. Warner "Foundations of Differentialable Manifolds and Lie Groups"(GTM94)
Shigeyuki Morita "Geometry of Differential Forms"
以及Gerard Walschap "Metric Structures in Differential Geometry" (GTM224)
這三本都是精煉至極的教材，94對微分流形的大結論都過了一遍，Morita更加關注示性類（同時也推銷了他的續作「Geometry of Characteristic Classes」），224也關注示性類，和Morita的區別是前者對基礎知識的介紹多一些，後者隨便提點定義就直接進入正題。
補充：至高の微分流形講義：S. Ramanan, Global Calculus, Graduate Studies in Mathematics 65.
流形上的微分形式有何深層次意義？
1.自然界很多物理規律相關的式子可用反對稱張量場描述，比如有質量向量粒子場的形式 手徵反常對應的拉氏量，微分形式可以簡化表述 2.反對稱張量的形式可以保證微分形式的次數低於流形的維數，這樣自然能有後面Hodge對偶等內容 3.微分形式可使體元自動具有定向性，這與微積分的曲線 曲面積分體元具有方向性相...
有哪些交換代數的好教材？
格羅卜學數學 除了Atiyah,我還推薦以下3本書 Rotman Matsumura Serre 高等近世代數 豆瓣 起點低,從基本的群環域開始,一脈相承.內容豐富,包括了同調代數和交換代數.例子巨多,很詳細.有一些代數幾何和代數數論上的應用.缺點是有點亂,有點囉嗦.Commutative Ring...
有哪些關於非緊流形或帶邊緊流形的拓撲的非平凡結果？
我可好吃了 物理上，臨界點可以是高維莫比烏斯帶的存在，這是結構上的最優解。另外，如果隨機微分操作的話，得到的都是熵值最小狀態，類似隨便乙個不規則體在光滑球形萬花筒裡都是無限的對稱，即使是0維，這種對稱也是無限的！ 劉暢 非緊的極小曲面只有兩個末端算嗎，忘記幾維的了，還有可能就是復分析裡面的uniom...