1樓：
我個人認為很有美感、理論上也挺重要的「推廣」是向量分析中的一列結果：
將「平直空間」的向量分析公式推廣到「彎曲空間」上去。具體地說，是把歐式空間 中的向量分析公式推廣到黎曼流形 中。
我們先回顧一下（數學物理方程中）歐式空間向量分析：令 ，由多變數微積分的Gauss散度公式，，直接計算 ，於是得到我們在數學物理方程中認識的老朋友，Green第一公式：
互換 位置，相減，我們得到Green第二公式：。
以上這些內容都是我們在數學物理方程中學過的。
有趣的是在黎曼流形上我們也有Gauss散度公式：其中 代表體元，是黎曼度量。
【PS：這個流形上的Gauss公式的證明依靠的是流形上的微積分基本定理（Stokes公式） 。】
完全模擬歐式空間的推導過程，令向量場 ，那麼
同時 積分： （這一步是由Gauss散度公式）
同樣的操作：互換位置，相減，我們得到：
（彎曲空間上的Green第二公式）
我把平直空間的Green第二公式搬下來比對一下，你會發現這就是赤裸裸的平行推廣。
（平直空間的Green第二公式）
2樓：TravorLZH
柯西積分公式：
費馬小定理：
若p為素數、a為乙個滿足 的正整數，則
尤拉-拉格朗日方程：
用T表示系統總動能、V表示系統總勢能。定義拉格朗日量 ，則對於任意系統內的自由度，都有：
二項式定理：
定義 ，則有：
AM-GM不等式：
若 ，則有：
卷積定理：
3樓：僅此
第乙個湧上心頭的是Five lemma，第二個是毛球定理，不知道符不符合要求…
總覺得呢，大多數形式簡單富有美感的定理或者公式其實都只是把紛繁複雜藏在了字元下的定義裡了而已…
典型例子就是答案裡有人提到的龐加萊對偶…
(沒有想破壞氣氛的意思，我還是很欣賞數學
(有點偏題，希望不會被摺疊_(:з」∠)_
4樓：
我來講乙個微分幾何裡的。
學過Riemann幾何的同學應該都知道Cartan公式，那個把Riemann流形上的外微分d用Levi-Civita聯絡表示出來的公式，其實這個公式有乙個很一般的推廣，對一般的微分流形上的仿射聯絡都成立。
當然，上面的內容是一般的微分幾何課上都會提及的。我要說的是最近在Bismut的書上看到的這個公式的乙個非常簡單的形式。
設M是乙個光滑流形， 是M上乙個仿射聯絡，令 為 的撓率。熟知地， 誘導了 上的乙個聯絡，對應乙個協變導數 （已經過反對稱化），那麼Cartan公式就成了
作為 上的微分運算元。
這裡i表示interior product。
我以前從來沒意識到Cartan公式可以寫得如此簡潔，第一次在Bismut的書上看到的時候感覺真的很驚豔。
5樓：孫泰英
數論裡的唯一分解定理：對於任意乙個正整數n，總可以找到若干個素數，使得這些素數的若干次冪的乘積等於n。這個結論看似非常顯然，但它卻只在現存的整數環上是成立的。
這背後還有乙個小故事：曾經有乙個數學家號稱使用了「根號5整數」的思想證明了費馬大定理，但被人發現是偽證，就是因為在「根號5整數」環上，並不存在唯一分解定理。
6樓：
有限域的階一定是素數的冪。
數學裡面有什麼用不清楚，這個結論在密碼學裡面有用到。AES加密演算法主要依賴於構造在階為的有限域上的運算。在有限域上可以保證運算的結果的分布上足夠均勻。
7樓：
說個初等的：de Rham定理
緊緻光滑流形的第r個de Rham上同調群和第r個同調群同構.
定理的重要與漂亮之處是，建立了流形的區域性性質與整體性質之間的聯絡.
當然，有很多層上的推廣.
8樓：張辰LMY
跡公式與特徵標。
故事從trace(A) = sum a(ii) = sum ti(A)（特徵值之和）開始的。若從數學公式裡挑出乙個能和指標定理掰手腕的，大概首選跡公式吧。下圖出自Lax的泛函分析
～～～～～～跡公式被數學大師推廣到連數學系研究僧也沒幾個人看懂的程度～～～～～～～
9樓：
本科的復分析裡到處都有這種結論，我們只需要復可微條件，就可以得到非常神奇的結果。
比如有:
1.(柯西積分定理) f在單連通區域\omega上全純,則f在\omega內的環路積分等於0.
2.(全純函式的正則性) 全純函式是無限次復可微的.更強的結論是=.
3.(Riemann對映定理) 復平面上單連通區域如果不等於整個平面,則一定雙全純等價於單位圓盤.
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