1樓：加加公尺
有這麼一條定理：任何具有序拓撲的全序集都是豪氏的。
偏序集的話，由於可能存在部分元素，它們之間沒法比較，因此也沒法判定兩個點的鄰域是否相交，所以「不一定是豪氏」（可能是也可能不是，因為全序集一定是偏序集）。
2樓：ZCC
這裡姑且寫乙個回答拋磚引玉. 我們的回答是: 一般偏序集取某種意義下的序拓撲未必是豪斯道夫的.
"偏序集上的序拓撲"是有歧義的, 我們一般談及"序拓撲"(order topology)都是在全序集上定義的——它有多種等價的定義方式, 但這些等價的定義方式放到偏序集中就不再等價了.
設 是乙個偏序集, 中的閉區間指的是以下三類集合:
以所有閉區間為閉集可以生成 上的乙個拓撲, 稱為 的(閉)區間拓撲(interval topology)——其中的閉集是閉區間經過有限並和任意交產生的. 顯然當 是全序集時, 區間拓撲正是序拓撲. 至於為什麼用閉區間生成拓撲而非開區間, 可參看[3].
顯然區間拓撲總是滿足 分離性的, 因為其中的單點集都是閉集.
但區間拓撲並不總是豪斯道夫的——事實上我們可以找到使區間拓撲豪斯道夫的等價刻畫, 有興趣的讀者不妨移步[4].
更新：考慮無窮集合 , 取其中乙個特殊的元素, 以 代之, 定義關係 為
這樣 是乙個偏序集(讀者可以畫圖理解). 此時在 上的區間拓撲就是有限補拓撲, 即 的子集是閉集當且僅當是有限集或 自身, 這時 顯然不是豪斯道夫的.
另外我們可以對偶地考慮下面這種類似區間拓撲的拓撲, 即開區間拓撲:
設 是乙個偏序集, 中的開區間指的是以下三類集合:
以所有開區間為開集可以生成 上的乙個拓撲, 稱為 的開區間拓撲.
若 是全序集, 則開區間拓撲正是序拓撲; 而對於一般偏序集而言, 開區間拓撲和閉區間拓撲不是同一拓撲.
如果在上述 中賦予開區間拓撲, 則不難發現 中的開集只有 四個, 從而不難說明不是豪斯道夫的.
全序關係和偏序關係的區別是什麼？
華天清 我在 三川啦啦啦 的回答上補充一下。拿整除那個例子來說，不用在整個整數集上說存在不具有整除關係的兩個數，而是在乙個具有偏序關係的集合中就存在不具有整除關係的數。直觀來說，在乙個偏序集中，元素之間通過偏序關係形成很多串元素，每一串像乙個長鏈條，串與串之間會有交叉，在交叉點以外，分別位於兩個不同...
有最小上界性質的全序集一定有最大下界性質嗎？
提問很久遠了不過還是仔細地回答一下，因為剛剛自己也差點掉進這個怪圈裡。書是對的，關鍵點在於仔細閱讀前文Definition1.7。Definition1.7裡要求道，當指明乙個subset E is bounded above時，有個前提是upper bound of E屬於S。同樣，當指明乙個su...
王羲之 蘭亭集序 書法貼裡有寫的不好的字嗎？
面涯背海 沒有。真跡更美？一副極品作品是整體的優美，單個，區域性的趣味的變化無可挑剔。蘭亭序整體繡美，全文書寫是洋洋灑灑，即是隨心而走，又游離在法度邊緣。其妙自現。也會有人會提出個別地方的塗改，個別字是發現字出錯是就勢改的。我感覺這是我們不要關注的。這也是一種美的表現。 Vingening 沒見過真...