1樓：
先證明幾個引理
如果 是素數， 是任意整數，並且 不是 的因數，那麼 能整除 。（證暫略）
假設 是偶數， 是素數， 不能整除 ，但是 卻能整除 。那麼，對於某一整數 ，
如果 是偶數，那麼 就是奇數。因為我們假設 能夠整除 ，所以 自身也一定是奇數。因而 是偶數，並且對於某一整數 來說， ，即 。Q.E.D.
假設 是偶數， 是素數， 不能整除 ，但是 卻能整除 。那麼，對於某一整數 來說， .
因為 為偶數，所以 也是偶數。根據定理 ， 的任何因數都一定是奇數，即 是奇數。
又因為任何奇數都可以表示成 或 的形式，我們考慮排除後一種可能。
假定 。由費馬小定理， 能整除
根據題設，能整除 ，可知 能整除
可知 能整除兩者的差 與 為素數矛盾
所以假設不成立，故 只有一種形式，即 Q.E.D.
假設 是偶數， 是素數， 不能整除 ，但是 卻能整除 。那麼，對於某一整數 ，
因為 ，所以由定理 ， 可以寫成 的倍數加 的形式。
任意可表示為的倍數加 的形式的數又可以表示為 和 兩種可能的形式
假設 ，由費馬小定理， 能整除
根據題設，能整除 ，可知 能整除
可知 能整除兩者的差 與 為素數矛盾
所以假設不成立，故 只有一種形式，即 Q.E.D.
綜上，對於偶數 和素數 ，若 不能整除 ：
如果 能整除 ，則 為 的形式（定理 ）
如果 能整除 ，則 為 的形式（定理 ）
如果 能整除 ，則 為 的形式（定理 ）
以此類推，同理可證
如果 能整除 ，則 為 的形式
如果 能整除 ，則 為 的形式
如果 能整除 ，則 為 的形式
最後，我們看看最後的問題
當然是偶數，由前面可知， 若不是素數，則他的任何乙個素因數都會是 的形式，因此我們可以大幅減lk少驗證範圍
我們驗證以下兩點（1） 是否為素數（2） 是否能整除 （可使用計算機或者長除法）有
若 , 不符合（1）
若 , 不符合（1）
若 , 不符合（2）
若 , 不符合（2）
若 , 不符合（1）
若 , 不符合（1）
若 , 不符合（2）
若 , 不符合（1）
若 , 不符合（2）
若 , 符合以上兩點
就有 可知該數不是素數Q.E.D.
以上就是最早由尤拉給出的證明。有時間再補充一下費馬小定理的證明。
2樓：CarlCzerny
這個不需要證明。
用最樸素的試除法，從2開始驗證每個素數是否能被2^32+1整除，發現第116個素數641就可以整除這個數，因此不是素數。即使在幾百年前沒有計算工具的時候，靠手算驗證也並不算很困難（比641更小的整數是不是素數，是否需要用於試除2^32+1，即使沒有素數表，也很容易判斷）。
與判斷這個費馬數不同，判斷梅森數2^31-1是素數則困難很多，因為需要使用4792個素數試除，最大的乙個是46337，即使確定了2^31-1的平方根的整數部分，再用埃氏篩出小於平方根的所有素數，試除工作依然相當耗時，尤拉能靠手算驗證2^32+1不是素數這個不奇怪，但傳說中他還確定了2^31-1是素數，那只能說明他沒有完全使用素數的確定性判定法，而是借助了一些概率性判定法。
證明第5個費馬數不是素數？
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如何證明素數有無窮多個？
噗嗤一笑 今天覆習數論，看到老師給的PPT上展示了一種很簡單的方法，不是歐幾里得的反證法，看到很多人沒提到，就分享一下。只要證明對於任意正整數n，都存在素數p n，就能得出素數就有無窮個。我們建構函式f n n 1，n 為n的階乘。根據定理 x是正合數，p是x的乙個大於1的最小正因數，則p是素數。所...
素數與 1 為何 1 不是素數？
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