1樓：噗嗤一笑
今天覆習數論，看到老師給的PPT上展示了一種很簡單的方法，不是歐幾里得的反證法，看到很多人沒提到，就分享一下。
只要證明對於任意正整數n，都存在素數p＞n，就能得出素數就有無窮個。
我們建構函式f(n)=n!－1，n!為n的階乘。
根據定理:x是正合數，p是x的乙個大於1的最小正因數，則p是素數。所以f(n)必存在最小素因數p。
但是1，2，3，……，n都不整除f(n),所以p必然大於n，不然就不存在了。於是p＞n已得到，證明完畢。
2樓：BAJIN
看到上面各種花裡胡哨的證法了...我來寫個初等證法吧(自己想的一種)首先有 =1(具體證明見我的第一篇文章,很好證的)然後令F=
展開可得到所有正整數的倒數和(即調和級數)加一些餘項(根據唯一分解定理)
設素數倒數和為P
F=P(1+P+ )
顯然<=1
所以F 因為調和級數發散,所以F趨於∞ 所以P趨於∞,即素數有無窮多個 證畢~~~ 3樓：今晚月亮很美 以前我一直錯誤的以為所有已知素數的乘積再加一還是素數，直到今天我發現： 2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509 4樓：自學生 我發現（一對無盡有無0.～1*1～0=1）（1+10+10～0=11～1）正反和正中統一時間標準）的（核心重量半徑尺度球面）和（統一時間標準速度空間）證明了無邊無際的0和1的素數模型。（發現過程請研究《大自然的正反規律》吧）證明了自然規律和人為規則的1+0=0. 1一對兩性正中各半有無的三方統一（生命時間力量）標準自然數學規律原理模型， 5樓：寂寞 假設存在乙個最大的素數，記為M 假設N＝2×3×5×7×11×...×M(所有素數乘積)下面證明N+1是素數 假設N+1不是素數，根據算術基本定理，N+1必是某個素數的乘積，比方說被A整除 但A能整除N(因為N是所有素數的乘積)，因此，當你用A整除N+1時，將留下餘數1 矛盾，所以N+1是素數 因為N+1是素數，所以竟然有比最大的素數M還大的素數N+1！顯然矛盾，所以不存在最大的素數 6樓：TravorLZH 經典反證法和Zeta函式尤拉乘積反證法都已經有人回答了，下面寫乙個自己的構造證明法： 定義Mangoldt函式 ，則有： 因此有如下關係 再利用RS積分： 可得漸近展開 重排左側，得： 對於右側，有 因此 。最後根據Shapiro陶伯型定理（Shapiro's Tauberian theorem）[1] [2]，可知存在常數K使得對於足夠大得x，有： 即對於足夠大得x，存在常數A和B使得 設素數計數函式 則利用RS積分，得： 因此素數有無窮多個。 事實上對 使用Shapiro陶伯型定理還能給出乙個更有意思的結論： 這可以讓我們計算素數倒數和的漸近式： 現在定義 則有： @呀嘞呀嘞 確實尤拉乘積能給出asymptotic tight bound，但似乎它沒法對誤差進行估計。 7樓：魔法少女Alkali 寫乙個目前我見到過的最秀的證法,重寫自[1]. 對整數 ,我們設整數集的子集 . 我們取自然數的乙個子集族 為所有滿足這樣的條件的整數集的集族, 即對於任意 , 總存在乙個 使得 . 注意到對於 , 顯然有 . 同時我們注意到也有 , 這是因為如果 , 那麼對於某乙個 , 按照定義存在 滿足 , 從而有 . 因此 中任意個元素的並與有限個元素的交仍然在 中, 從而我們得到了 上的乙個拓撲 . 按照定義, 我們可以得到如下結論: (1)所有非空開集 (即 中的非空元素) 都是無窮集; (2)所有 是閉集 (即開集的補集). 第2點成立是因為 從而 是開集的補. 最後我們注意到除了 以外, 所有的整數都是某乙個素數的倍數, 從而屬於某乙個 . 因此有 如果素數是有限的, 我們可以得到等式右端是有限個閉集的並, 從而也是乙個閉集. 那麼我們得到 是乙個開集, 這與(1)矛盾. 因此素數是無限的. 參考資料: [1] Aigner M., Ziegler G. 8樓：Algebra 寫乙個用黎曼 函式的證明方法，因為： ，其中 取遍所有素數。 取 ，可得： 如果素數是有限的，那麼乘積 必然也是有限的，但等式的左邊 是大名鼎鼎的調和級數，大家都知道它是發散的，故會導致矛盾，所以素數有無窮多個。 9樓：Dolphin 考察費馬數2^(2^n)+1的素因子p 設2模p的階為d 則由於2^(2^n)≡-1(mod p)①知d不整除2^n 對①式兩邊平方 2^(2^(n+1))≡1(mod p) 於是d|2^(n+1) 於是d=2^(n+1) 由費馬小定理 2^(p-1)≡1(mod p) 於是d|p-1 即2^(n+1)|p-1 p≥2^(n+1)+1 這表明素數有無窮多個 10樓：宣永和 即然有限，就能把所有的相乘再加1，得到乙個數，則這個數除以有限內所有素數都餘1，要麼它不是有限內的質數，要麼是有限外的質數相乘的合數，因此總會產生有限外的質數，所以質數是無窮多的。 劉亞偉 用 表示不大於N的自然數中有形如 的素數個數用 表示不大於 的奇素數集 即 用 若 滿足 且 則 一定是素數 而 的計算方法與尤拉函式相似 結語 開始嚇一跳，怎麼能有一半的素數滿足6n 1呢？但仔細想一想也對，因為只有 和 可以生成成素數，也就是說所有大於3的奇素數都可以用上面兩個式子表達。... 無窮 對全體素數p,考慮p p 1的連乘 Euler 乘積 化簡，利用等比數列，再利用唯一分解定理，得到其即為調和級數，由調和級數發散，知素數有無窮多個 TravorLZH 個人認為調和級數的操作過程比較複雜，但是用巴塞爾問題來證就明顯會方便很多 引理 證明 顯然 定理 素數數量是無限的 證明 假設... 這個回答不想實名。Hardy Littlewood早在20世紀20年代就有猜想了。當然這一系列問題全是猜想，沒有乙個可以得到證明。projecteuclid.org download pdf 1 euclid.acta 1485887559特別注意5.67節。 周元欣 假設沒有無窮對相鄰的素數，使其...怎麼證明6n 1型的質數有無窮多個？
如何用調和級數證明質數有無窮個？
是否有無窮對相鄰的素數，使其和為平方數？