1樓：劉亞偉
用 表示不大於N的自然數中有形如 的素數個數用 表示不大於 的奇素數集
即= 用 = ，若 滿足
且 則 一定是素數
而 的計算方法與尤拉函式相似
結語：開始嚇一跳，怎麼能有一半的素數滿足6n+1呢？但仔細想一想也對，因為只有 和 可以生成成素數，也就是說所有大於3的奇素數都可以用上面兩個式子表達。
而 ， ， ， 是不可以生成素數的。
就是說6n+1型的素數不僅有無限多個，而且有一半的素數是滿足6n+1型的。
2樓：Abelian Grape
因為只學過初等數論，所以只接觸過初等的方法... 其實可以直接看Mathblag的這篇文章，我這邊就搬運一下
Primes of the form 6k+1
其實思想就是，把這個問題等價成乙個同余式有沒有解的問題。 證明4k+1就是證明 。這邊也一樣，就是說明， .
假設命題為假，一共只有k個滿足題意的素數，從小到大排， .
令 , 考慮
令p為乙個素數， 同時 . [注意，p一定不可能是3，這在下面會用到。]
所以，所以
接下來，引入「階」(order)的概念。a模n的階為 , 也就是說，k是使 成立的最小正整數。
可以證明，如果 , 而且階為m, 那麼， . [可以使用反證法和division algorithm，證明我們可以找到更小的數使得 , 與階的定義矛盾。]
在這題裡，我們令N模p的階為m。所以，由等式(3)可知， , 那麼m只能是1，2，3或6。 我們現在的目標是證明m只能是6，然後就能得到矛盾了。
首先， 因為等式(2).
其次, 如果 , 那麼，由等式(2), 但這樣的話，等式(1)就不成立了，除非p=3, 而這是不可能的。
所以，由費馬小定理(Fermat Little theorem)可知， 。[條件是 , 這是一定正確的，不然p=1。]
由階的性質，我們可以推斷， , 即， 我們找到了乙個 . 不僅如此，這個新素數不等於任何乙個 [不然 ]。所以，我們找到了乙個新的符合題意的素數，與假設矛盾。反證法成立。□
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