1樓：折翼
先重述一下問題。設 是乙個開區間， 是一列開區間。要證這些區間中包含無窮多個正整數。
不妨設 0." eeimg="1"/>首先注意到，這每乙個區間的長度都是
如果 1," eeimg="1"/>那麼結論顯然成立，因為每乙個區間中都包含正整數。
如果 結論也成立。若不然，注意到，長度為1的開區間如果不包含整數，那麼這個區間的兩個端點必須是整數。所以這一列區間從某一項開始都形如 但這是不可能的。
如果 這裡要用到乙個定理。先陳述在此，稍後再證明。
Kronecker逼近定理：若 0," eeimg="1"/>是無理數，則數列 在區間 中稠密。這裡 表示取小數部分。
因為 是無理數，所以數列 在區間 中稠密。對於小於 的正數 存在無窮多個 使 1-(b-a)," eeimg="1"/>即：
這個不等式的左邊是 和下乙個正整數的距離，右邊是區間 的長度。這個不等式說明，區間 中有正整數。證畢。
通過證明可以看到，把問題中的 換成任何無理數，結論都成立。
Kronecker逼近定理證明有點長，不想寫了。。可以去看《多項式和無理數》馮貝葉定理7.8，或者別的關於數論的書。
這裡只直觀解釋一下吧。如果 是有理數，那麼數列 中互不相同的值顯然只有有限個，它們包含在第 項中。而對於無理數 它的小數部分非常「碎」，以至於全體 的小數部分會稠密地遍及整個區間
有興趣可以思考一下這個問題：對於任意的自然數 區間 中沒有整數。要知道，這個區間的長度小於 非常小。
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