1樓：木亦有知
證明：令 ，且 ,定義對映：
顯然有令，則
當n" eeimg="1"/>時，的 次外形式為 ，。
當時，若為 的基，為 的基，則
，故，在此基底下
其中最終得到
對於 則有
所以特別的，當 時
2樓：cvgmt
學習了柯西比內那麼多年，今天才知道那個公式的正確寫法應該是去計算
而不是雖然是小小的變化，卻帶來幾何和代數上更清晰的解釋。
3樓：Dfusne
我補充一點內容. 單從線性代數層面講, 直觀的理解就是證明 展開行列組合後展開 將 分塊展開
第乙個等價由定理可得, 關鍵是下面這步：
*行列式定義：
將上述n!項分成 組, 再通過變換指標的方法再化簡得證.
第二個等價構造展開含A B且等於det(C)的矩陣M，用第乙個等價得到的結論多次展開M，化簡就能得到Cauchy-Binet公式.
上面兩個回答分析清晰明了，這種笨方法看起來比較雜亂233.
4樓：切我
對於交換環 ，是 模的組成的範疇到自身的函子。柯西比內公式就是這個命題的推論。
首先，的維數是組合數 ，存在一組基，其元素與 中選取 個元素的子集一一對應。
對於 矩陣，考慮其對應的線性對映 ，根據上面提到的基再轉回矩陣形式，其每一項恰好對應原矩陣的乙個 階子式的行列式（適當新增正負號）。
對於一組 和 矩陣，考慮其分別對應的線性對映 和 。把 用上面的方式轉成矩陣形式再展開，就得到了柯西比內公式。
5樓：[已重置]
公式的幾何意義可以參考——
摘自《流形上的分析》【J. Munkres著；謝孔斌、謝雲鵬譯。北京：科學出版社，2012（數學名著譯叢）】第152頁。
此外，似乎此公式尚有組合學及圖論方面的應用，但我不太清楚。
定理本身涉及的問題是——當一般矩陣（特指非方陣）在乘積為方陣時，其行列式的一般公式，屬於線性代數。
首先需要證明以下引理——
引理：設 分別為 及 矩陣，且 為兩者乘積，則 。
證明
：依矩陣乘法定義， 。約定 代表矩陣 的第 列。將 寫成關於 之各列的形式，則 。依行列式的多重線性，
其次，證明——
定理（柯西（Cauchy）—比內（Binet））：設 分別為 及 矩陣，且 為兩者乘積，則當 n" eeimg="1"/>時，有柯西—比內公式（Cauchy-Binet formula）——（公式右邊求和遍歷從 中取 個元素 的所有可能的組合，共 個）。特別的，當 時， ；而當 m" eeimg="1"/>時， 。
證明
：首先，注意到以下幾點事實成立：
行列式在矩陣轉置下不變。
依行列式的斜對稱性，若 ，則 ，故求和 與遍歷兩兩不同的 的求和（即 ）毫無二致。
當 時，兩兩不同的 無法存在（顯然，在少於 種元素的集合中選 個元素時，重複是不可避免的，這是抽屜/鴿巢原理），故求和式中所有的因子 （依第2.點），從而 。
若 ，則 就是從 中所取的 元子集 的某個置換 （ 為 階置換群）。
對應於組合的所有排列所產生的項，可利用加法交換律及加法結合律收集到一起。
行列式的完全展開式為 。
其次，依引理有——
最後，注意到當 時，組合 是唯一的 ，此時公式
恰與 為 階方陣時眾所周知的公式一致。
【注：用語言表述，柯西—比內公式是說—— 分別為 及 的兩矩陣乘積（ 矩陣）的行列式，等於他倆各自的 階子式乘積之和（顯然，相乘的必須是具有同樣的行/列標的 階子式）。】
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