1樓：Jameson
學到這的時候，我也是覺得想要給柯西中值定理建立幾何直觀太難了
羅爾定理是：兩端固定，有起必有伏，起伏之間必有「峰」，峰就是駐點，駐點處切線斜率f'(x0)=0，即切線平行於x軸
拉格朗日中值定理是：兩端固定的直線f(a)=f(b)=c旋轉成直線L(AB)：y-f(a)=(x-a)*k(AB)，此時切線跟著旋轉，f'(x0)=k(AB)
到了柯西中值定理的時候，兩個函式，難以建立幾何直觀，這時就不得不從引數方程的角度，令g(x)=t，f(x)=f[g^-1(t)]=h(t)，將自變數從x轉變為t，此時就需要考慮x=g^-1(t)的存在情況，接著順著這個思路把f(x)和g(x)兩個函式降維成h(t)這乙個自變數為t的函式，然後回到拉格朗日中值定理
這個過程建議自己完成一遍，這樣就能體會同濟課本中，柯西中值定理的乙個條件g'(x)≠0為什麼存在了，因為嚴格單調函式才保證存在反函式，而實際上如果採用構造輔助函式F(x)=f(x)-*g(x)，然後應用羅爾定理這種做法，會發現g'(x)≠0是乙個限制更多的條件，實際上只要g(b)≠g(a)，且f'(x)和g'(x)不同時為0即可。當然如果限制「在(a,b)上g'(x)≠0恆成立」，也是可以推出上面這兩個條件的，因為如果g'(x)≠0，就不可能有f'(x)和g'(x)同時為0，而且此時g(x)嚴格單調，必有g(b)≠g(a)。不可否認g'(x)≠0是個更容易判斷和應用的條件，但相對而言更嚴格了一點，限制了定理在某些情況的應用
2樓：水目痕
畫得有點亂，若g'(x)為定值，設 g'(x)≡a，如果f(a)-f(b)/g(a)-g(b)=1，柯西中值定理的意思是可以找到一點f'(ξ)/g'(ξ)=1，則找到一點f'(ξ)=a，這樣有什麼矛盾呢？
3樓：范特西
柯西定理的推倒應用構造輔助函式，然後同時積分的方法。切忌用拉格朗日推柯西！！！另外柯西定理中的中值應保證gx與fx是同乙個中值。
4樓：無人的城市
沒看懂題主的意思…
如果是要證明Cauchy中值的話直接構造輔助函式用Rolle即可：
F(x)=(f(x2)-f(x1))g(x)-(g(x2)-g(x1))f(x)
而F(x1)=F(x2)
由Rolle定理即得結論.
柯西中值定理的幾何意義是什麼？請賜教！！！？
未眠2點30 我是理解為f x 與g x 變成一條曲線k x 由於f x 與g x 都滿足連續與可導，那麼這條曲線k同樣連續與可導，但其中一條直線不能為0。否則不能合成。然後這條直線滿足拉格朗日定理。所以說柯西中值定理是拉格朗日定理的特殊形式吧。 置若罔聞 請按照以下思路 會發現柯西中值定理物件 引...
微分中值定理中費馬，羅爾，拉格朗日，柯西，泰勒都有什麼不同？
喧北海 費馬引理 費馬引理是微分三大中值定理的前傳 函式f x 在點x0的某鄰域U x0 內有定義,並且在x0處可導,如果對於任意的x U x0 都有f x f x0 或f x f x0 那麼f x0 0。這裡只是來描述它，不是來證明它的，所以不管嚴謹性，用通俗的語言說一下 如圖所示 費馬引理 連續...
如何理解或是證明柯西 比內公式？
木亦有知 證明 令 且 定義對映 顯然有令，則 當n eeimg 1 時，的 次外形式為 當時，若為 的基，為 的基，則 故，在此基底下 其中最終得到 對於 則有 所以特別的，當 時 cvgmt 學習了柯西比內那麼多年，今天才知道那個公式的正確寫法應該是去計算 而不是雖然是小小的變化，卻帶來幾何和代...