1樓：未眠2點30
我是理解為f(x)與g(x)變成一條曲線k(x)。
由於f(x)與g(x)都滿足連續與可導，那麼這條曲線k同樣連續與可導，但其中一條直線不能為0。否則不能合成。
然後這條直線滿足拉格朗日定理。所以說柯西中值定理是拉格朗日定理的特殊形式吧。
2樓：置若罔聞
請按照以下思路：
會發現柯西中值定理物件：引數方程
引數方程有兩個公式
對兩個公式分別運用拉格朗日中值定理
再把得到的兩個拉氏定理左邊除以左邊右邊除以右邊就可以得到柯西中值定理了
也就是兩個拉氏定理相除得到柯西中值定理
沒有幾何意義，可能有的同學忘記了這兩個定理下面附圖
拉氏定理
柯西中值定理
3樓：「已登出」
事實上經典又簡單的柯西中值定理的幾何解釋是在改變座標系。這裡提供一種仍然在原始座標系裡的理解方式，自己無聊瞎想的。。。。
看下面三個影象。
把羅爾定理整個影象傾斜，就是拉格朗日中值定理。
再把下面那條直線變彎，就成了柯西中值定理……
下面這個曲線g(x)是單調的，單調增或者單調減。任意g(x)跟f(x)一定相交與兩端點，這是不可能的，但是我們通過一種線性變換就可以把任意單調函式g(x)給拉到圖3中的位置。
這個變換的過程，剛好就是g(x)先除以自己的端點連線斜率，再乘以f(x)的端點連線斜率，也就是g(x)先變換成[((f(a)-f(b))/((g(a)-g(b))]g(x)，這個時候在上下移動g(x)就一定可以把g(x)拉到圖3的位置。
最後，三個中值定理的含義都是最終的兩條線的距離存在最值。這樣三個中值定理看起來就像一家人了。。。
4樓：楊東
前面有人用引數方程說的其實很清楚了，我說個現實點的意義。
假設你是個苦逼的孩子，而且你也確實是個苦逼的孩子，所以你天天只能吃泡麵火腿腸度日。為了省錢，你囤了100包泡麵和100條火腿腸，並且於100天吃完。所以你平均消耗量是每天1包泡麵，每天1條火腿腸。
顯然，有些天你泡麵吃的多，有些天你火腿腸吃的多。但是今天多吃了泡麵，以後就要少吃。今天少吃了火腿，以後就要多吃。
所以在某一天，你火腿腸泡麵的消耗比率一定等於平均消耗量的比率。在經濟學上，導數是邊際量，或者說是引數變化乙個單位，引起函式的變化量。顯然這裡引數是時間，函式1是泡麵總消耗量，函式2是火腿總消耗量，而它們的導數就是它們每天的消耗量。
最後希望槓精合理規劃飲食，暴飲暴食不利於身體健康。
5樓：
搜這個問題是想要理解柯西中值定理中證明時構造的輔助函式的幾何意義。
看了一圈答案。
車速概念確實可以幫助理解柯西中值定理，但是談不上有什麼幾何意義。
引數函式本來就是證法之一，然後從幾何上也確實能解釋。
但是我很討厭引數函式這個東西，引數函式中x和y之間的關係太抽象了，單從引數函式上很難想象xy曲線。然後再由g、f引出的座標系更讓人難受。
有沒有大神能就在xy座標系裡面解釋輔助函式的幾何意義，比如像拉格朗日，曲線減去斜線後，可以想象出一根扭曲的，在x軸上下波動的曲線。
還是說柯西中值定理的輔助函式只能在引數函式的座標系裡有幾何意義。
6樓：籠中物件
最直觀最原始的
由上圖可知柯西中值定理:其實是存在至少一點使fx和Fx導數的比值和他們在a，b兩點連線的斜率的比值相等
再來看引數方程的
其實原理一樣的。上圖描述不嚴謹，但是你應該懂
7樓：陳建康
我不知道別人怎麼想的，反正我第一次看到的時候特別注意兩函式導數恆不等於0。
此時就必然有F（x）與f（x)為單調函式，保證了他們的反函式是可以取得的也就是你把f（x）看成了自變數，F（x）看成了因變數。
這不就是拉格朗日中值定理嗎？
所以大家講得那麼複雜我也是黑人問號。我也不知道我是不是在犯傻。希望大家錘醒我。
8樓：哲學嘉
拉格朗日中值定理：
如果乙個人在某段時間內總進步速度為A，那麼在這段時間內必然存在某一刻他的瞬時進步速度為A
柯西中值定理：
如果兩個人在某短時間內總進步速度的比值為A，那麼在這段時間內必然存在某一刻他們的瞬時進步速度的比值為A
9樓：咕嚕肉
樓上這幾位在幹什麼，柯西中值定理理解很簡單，從a點到b點任意兩條曲線，圍成的面積一樣的話，兩曲線必有交點，圍成面積視為f和g，曲線為f和g的導數，現在將f或g代表的面積放大n倍，原導函式曲線交點處的值自然同樣成n倍，就這個幾何意義
10樓：胡家新
感謝各位支援，更新對"(若否,同上理)"的解釋：若否，行駛過程中兩車的速度之比恆大於或恆小於平均速度之比，則將得出新的平均速度之比，顯然矛盾。
拉格朗日中值定理描述了乙個連續函式在一段閉區間上，存在某點斜率等於平均斜率，就像是一輛車在一段時間的連續行駛中，總有某一時刻的速度等於平均速度（若否，行駛過程中的速度恆大於平均速度或恆小於平均速度，則將得出新的平均速度，顯然矛盾）；
而柯西中值定理則是兩個連續函式在同一段閉區間上，存在某點斜率的比值等於平均斜率的比值，就像是兩輛車在同一段時間的連續行駛中，存在某一時刻速度之比等於平均速度之比（若否，同上理）。
11樓：紙盒勇者
有乙個力學小實驗，平伸兩根食指，把一根筷子平放其上，兩手向中間緩慢移動，最後兩根手指接觸的地方就是筷子的重心
柯西中值定理與此類似，一段連續且沒有溝坎的曲線的變化率，一定是這段曲線上某個點的變化率。
離開學校十幾年了，憑印象說的
12樓：馬同學
先給出定義是一種禮貌：
如果函式 及 滿足在閉區 上連續；在開區間 內可導，對任意，那麼在 內至少有一點 使等式成立維基百科
1 幾何模型
這種幾何模型並不難建立，和之前我回答過的 如何解釋洛必達法則 ，裡面用的技巧一樣，就是通過引數方程進行構造（畢竟洛必達法則就是柯西中值定理證明的，兩者怎麼會不像啊），即變成 ：
圖畫出來之後問題就變得簡單了，柯西中值定理就退化為了拉格朗日中值定理，即：2 需要單獨講的一點
柯西中值定理中有乙個條件，就是 為什麼要存在？
因為我們剛才通過拉格朗日中值定理推出來了柯西中值定理，如果 ，比如(其中 在x=0處存在0點）， 影象中會出現導數不存在的點：
而拉格朗日中值定理要求整個開區間可導，所以必須有這個條件。
還有乙個原因，就是：
感謝 @何苦的糾正。
3 還有乙個困惑
為什麼條件是 連續， 可導？這個也值得寫篇文章來說說，挖個坑，請聽下回分解。
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