矩陣加法的幾何意義是什麼？

1樓：299792458

應該需要從特徵向量和對角化進行理解。特徵向量幾何意義是矩陣空間的旋轉軸但有乙個λ的倍數關係，對角矩陣天生基向量為特徵向量。由於是λ的倍數的旋轉軸，所以必然對應了另乙個化零空間。

該化零空間與原矩陣空間的關係就是加法後降秩的關係。而加法意義還是跟乘法對矩陣空間的旋轉一樣，只不過是直接粗暴的在對角化基礎上實現單位加減基變換而不是常用的矩陣乘法變換來達到降秩目的。x看似描述原矩陣，實際上在了新的矩陣上產生了作用，原矩陣看來是旋轉軸，新矩陣看來是化零空間。

2樓：玉尹框

矩陣我理解為乙個有關空間變換的function，可以模擬函式f( )它可以表達乙個對基向量線性變換的過程，如果再去作用於基向量的話（左乘），那麼它本身也就體現著變換後的結果（每一列代表乙個正交分量的座標），因為它是以基向量為量度的。如果作用於非基向量，那就把這個對基向量的變換過程加給這個非基向量來進行變換。

所以矩陣相加或許可以理解為對基向量變換後的結果向量相加（不準確），這就是幾何意義。但其實乙個矩陣，把它當作函式，它是沒有輸入量的，就是f( )。想想兩個函式相加是什麼幾何意義。

抱歉我說的很亂很難表述清楚，但是矩陣相加的確是有幾何意義的。剛仔細看了高讚回答，說的很好很專業，也表述出了幾何意義。

3樓：我欲修仙法力無邊

我來講講個人見解(學的知識有限)

你說的那個公式怎麼來的:

你肯定知道矩陣加法有結合律，那麼式子AX＝λX移項即λX－AX＝0應該也是可以用結合律結合一下的(有公共因子X)。實際上λX是λEX(我習慣用E)，只是E作用於X這個n*1的矩陣沒啥效果，但是E和A都是n階方陣，這樣寫才能結合。顯然你不可能直接用矩陣A去減乙個數λ。

矩陣的幾何意義貌似用得不怎麼多，但是你可以體會一下。比如說在二維平面上取幾個好看的向量(可以圍成乙個封閉圖形)，然後用某個二階方陣作用一下，看看它變成了什麼。

矩陣的本質是對映。乙個n維列向量α，用乙個m*n矩陣A左乘一下，就得到了乙個m維列向量β，你會發現其實A就是乙個n維向量到m維向量的對映。然後你再看看矩陣的加減法。

(A+B)X＝AX+BX(分配率)，不難看出，A+B也是個對映，等效於A與B分別作用於X，然後再相加。代數這門科畢竟抽象，你要逐漸習慣，不過你能這樣想還是好的。

包括你後來學的線性空間，線性對映，線性變換都是向量空間和矩陣的推廣。線性對映的作用也可以化為矩陣的作用。所以你學這門科一定要多去模擬，很多知識都是相似的，要聯絡起來。

廢話有點多，反正我主要想表達矩陣本質上就是對映。

4樓：問答

1、對運算的理解

因為Ax=λx，所以Ax-λx=0

根據矩陣運算法則可知（A-λE）x=0

λE中的E為單位矩陣，λ為特徵值；λE為對角矩陣2、矩陣加法的幾何意義

（1）矩陣的幾何意義：對於m×n矩陣，當m<=n且矩陣的秩等於m時，可將矩陣看作是存放了n個m維列向量，每一列的各個元素可看作乙個在m維座標系內的空間向量對應的維座標。

（2）矩陣加法的幾何意義，可看作對兩個同行同列的矩陣，依次從1列到n列所代表的空間向量求和。兩向量求和的幾何意義就是力平行四邊形的對角線或力三角線的第三邊。

5樓：「已登出」

以我的知識面，矩陣加法運算和矩陣的數乘運算似乎沒有什麼太過深刻的幾何意義。而且這個公式的推導用的僅僅就是代數意義，對於幾何意義的應用並不明顯。

加法就是相當於將原向量分別進行兩次線性變換然後相加，數乘運算就是讓向量先縮放倍然後再進行另一次線性變換。這個例子裡面的其實依賴於的性質，所代表的線性變換就是相當於啥也沒做，因此在與其他矩陣、向量相乘的時候二者可以根據需要互相替換。

對於矩陣加法和數乘運算，我感覺它的代數意義更加有意思一些（雖然這不是題目所問的內容）。我們知道任何乙個線性對映都可以表述為乙個矩陣，乙個矩陣也對應著某乙個線性對映，因此矩陣是聯絡兩個向量空間的乙個媒介。而對於全體的矩陣，在定義了矩陣加法和矩陣的數乘運算後，它們也可以構成乙個新的向量空間，每乙個矩陣成為了這個向量空間當中的向量，有一種無限遞迴的感覺。

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