1樓：Ivan
轉置，有限維空間到有限維空間線性對映的對偶對映的矩陣表示。
共軛轉置，有限維空間到有限維空間線性對映的伴隨對映的矩陣表示。
2樓：玲瓏不是癯仙
轉置矩陣我知道的有兩種意義，乙個是表示轉置對映，乙個是表示伴隨對映。
首先我們引入向量空間的對偶空間的概念
定義1 對於定義在交換域 （常用的實數域和複數域,如果不了解數域的知識可以直接當作複數域，它的性質比較良好)上的維向量空間 ，對於所有定義在向量空間 上的線性函式（線性型） 的集合 ,我們在上定義向量的加法和數乘如下：, ，顯然也構成乙個向量空間，我們稱向量空間是向量空間 的對偶空間。
我們接下來引入向量空間和向量空間 的之間的對偶基的概念。
定義2對於 維向量空間的一組基 ，對於任意的 ,我們有 ，其中 是 在基 下的座標。我們可以定義向量空間上在基 下的座標函式,滿足有 ，顯然座標函式,是線性無關的，因為只有零向量的座標才全是零，因此座標函式是向量空間的一組基。
到這裡我們引入l了向量空間和對偶空間和對偶基的概念，即乙個向量空間上的全體線性函式構成了乙個新的向量空間，稱作為向量空間的對偶空間，向量空間的一組基下的座標函式同時構成了它的對偶空間的一組基，稱作為這組基的對偶基。
簡單地說如果A是兩個向量空間之間的線性對映在給定基下面的矩陣，那麼A的轉置矩陣就是向量空間的對偶空間上的線性對映關於這兩組基對應的對偶基（座標函式）的矩陣，出於方便起見我們假設以下所有向量空間都是n維的。
定義1對於數域 上兩個向量空間 之間的線性對映 和 上的線性型 ，我們取復合函式 ,顯然我們得到乙個新的函式它是向量空間 上的線性型，我們定義乙個新的對映 ,即得到乙個新的線性對映 ,我們將其稱為 的轉置對映。
總結一下，對於每個兩個向量空間空間之間線性對映，存在乙個反向的在其對應的對偶空間上的線性對映，我們稱之為它的轉置對映。
定理1於數域 上兩個向量空間 之間的線性對映 和 的轉置對映 ,我們分別取向量空間 的兩組基礎 ,設對應的向量空間 上的對偶基為 ,如果矩陣 是 關於的矩陣，那麼 就是 關於對偶基（座標函式）的矩陣。
總結： A表示了乙個線性對映在指定的基下的變換，即對於 ，
= A·x = ·
而 則表示了將 的乙個線性函式通過與 復合對映為 上的線性函式在其座標函式的下的矩陣，
= ·
注：其中 ,分別對應了向量 和線性函式 在 的基 和 的基 的對偶基（座標函式）下的座標。
簡單的說 代表將 將乙個向量空間的中向量對映為另乙個向量空間中的向量的線性對映，而 則代表了通過與 的復合（可以通俗理解為轉接，本來是從 出發的函式，通過 轉接後變成了從 出發的函式）將原來定義在 上的線性函式轉換為定義在 上的線性函式。轉置對映可以用對張量座標進行變換，具體例子見後面。
轉置矩陣的另乙個表示是表示線性對映的伴隨對映，。
定義1hermit型 ：取數域 上的向量空間 ，我們稱滿足以下條件的對映 為hermit型：
（1） 固定 ，函式 ： 是線性的。
（2） 固定 ，函式
（3） ，
註解：其中 表示 上的對合，可以簡單認為 是複數域 ，表示 上的共軛。
我們舉幾個hermit型的例子，
例1取數域 為實數域或者複數域，則內積函式顯然是乙個hermit型。
例2將數域 限制為實數域，則hermit型即為所有的對稱雙線性型。
例3在 上定義 稱為洛倫茲型，它顯然也是乙個hermit型。
給定V的一組基，乙個heimit型在基下的矩陣和相關表示為
其中 ,比如回憶一下簡單的度量矩陣。
定義2 伴隨對映（為了簡便起見，我們只敘述線性變換和乙個hermit型伴隨變換）：對於向量空間 上的hermit型 ，如果對於向量空間 上的線性變換 ,存在乙個線性對映 ,滿足以下條件 ,我們則稱為線性變換 關於hermit型 的伴隨變換。
定義3 伴隨矩陣：我們定義乙個矩陣 表示的線性變換對應的伴隨變換的矩陣為它的伴隨矩陣 ,具體關係為 ,即對其轉置矩陣取共軛。
定理1 如果對於向量空間 上的線性變換和它關於hermit型 的伴隨變換 滿足以下關係 ：
（ 表示 上的恒等變換）
即對應矩陣乘積為單位矩陣， 則有
定理2 如果上述變換 和它關於hermit型 的伴隨變換滿足 ：
稱其為規範的，此對於該hermit型 ，存在由 的特徵向量組成 的一組規範(標準)正交基
我現在來給出乙個關於轉置對映應用於張量的例子。首先我們來定義張量的概念。
定義1 張量 ：對定義在交換域 上的向量空間 和其對偶空間 的笛卡爾積構成的空間
上的多重線性函式函式
,稱其為 次共變 次反變的張量，或者記為 乙個 型張量。
定義2 張量的座標：出於簡單起見我們就只定義乙個張量 ，即兩次協變一次反變的張量，我們將這個張量定義在上面敘述的向量空間 和其對偶空間 的笛卡爾積 上，我們再取向量空間 的一組基 和它在對偶空間 裡的對偶基 (對應的座標函式）則張量 可以表示為
其中 分別是 在對應基下的座標，即
然後 稱為張量關於基 的係數（座標，分量）
現在我們給出向量空間 的另外一組基 和它在對偶空間 裡的對偶基 (對應的座標函式）
我們要將張量 在基 下的座標轉換為其在基 下的座標。
首先我們設基 和基 的座標變換矩陣為
, 即反向同理，而且兩個矩陣互為逆矩陣。
接下來，我們計算對偶基 ,由轉置對映性質可簡單得到
, 即我們取上面例子中的張量 ，它在基 下的座標為 ，現在我們去計算他在基下的座標，張量 在基下可以表示為，
座標變換主要是我們要得出新的座標係數 ，我們有
我們就得到了新的張量 在基下的表示方式，其中關鍵在於利用基變換矩陣和對偶基變換矩陣對張量座標係數進行變換。
3樓：時鐘莫莫
感覺大家回答的都有些偏難，需要一定的基礎才能理解。
個人的理解單純的從幾何角度來說。
轉置就是不同角度同等程度的空間壓縮。這也就是轉置之後行列式的值不變的原因。（小知識：行列式=空間壓縮面積倍數）
4樓：Eddistan
根據某種關係,進行維度轉換,當然這種關係根據實際意義而來,換句話來說二維根據某種關係對映到三維,三維根據某種關係對映到二維.
5樓：Mark ZZ
同乙個物件的兩個等價描述，也可以說是同乙個物件分別在兩個空間中的描述。這兩個空間的相互對映構成兩個空間之間的聯絡。這兩個空間稱為對偶空間。
如A=,,....], 看待這個物件有2種等價方法。一：
這是二維空間的一堆點，可以擬合成一條曲線. 二：二維空間中的一堆向量，本質上也是一堆點.
三: A轉置，則變成n維空間中的兩個向量，或者，n維空間中的兩個點。
這個物件本身沒有改變,改變的是兩個空間, 或者說看待這個物件的視角改變了。這個物件在兩個空間中必定有不同的度量(基)。這兩個空間必定有聯絡。
如果把A看作是二維空間的一些列點（或者一些列二維向量），則其分布構成一條曲線。如果將其擬合為一條直線, 即將其維數從2 降低為1，這時就是一條直線, 或者說，這條直線可以用乙個點加乙個單位向量來表示；而在AT空間，兩個向量變成乙個n維向量，或者兩個向量重合了;或者說，2個點重合了，變成了n維空間中的乙個點。在AT空間，兩個向量的距離，也即他們的夾角，或者說他們的點積也就變為了0。
所以在AT空間中兩個向量的夾角，也就成了A空間中一系列點的自相關係數(因為向量的點基是乙個向量在另一向量上的投影，是標量所以與相乘順序無關)，因此A空間中這些點的自相關係數也就必定是對稱矩陣=AT空間中的兩個向量的距離（夾角）.
所以A空間與AT空間的聯絡，就是他們構成了對偶空間。A的Column Space通過轉置，對映為AT的row space；A的Row space，對映為AT的Column space。所以他們的rank必定是一樣的。
6樓：以冬以東
看了很多回答，總覺得還缺點意思。
我一直在思考乙個問題，對標準正交矩陣而言，為什麼列向量標準正交，行向量間就會標準正交，這背後的幾何意義是什麼？苦思多日，突然頓悟：如果列向量 的每個值 看成是在標準座標系統O裡的座標（即在每個座標軸上的投影）。
而行向量是什麼？就是以這些列向量為座標軸形成的新座標系統A裡，原座標系統O每個單位向量 在這個新座標系統A裡的座標。
標準正交矩陣轉置的幾何意義比較容易理解。一般矩陣轉置的幾何意義該如何理解呢？我們用剛才的思路，用座標軸投影來理解。
矩陣的乙個值 ,可以看作兩個座標系統（標準座標系O+某任意座標系A）座標軸之間的投影係數 , 這樣看轉置就很清楚了，轉置後就是標準座標系單位向量 在座標系A上的「投影」，這也就是所謂的對偶。
理解到這樣，對於理解行秩=列秩就有了幾何認識：投影來投影去，標準座標系O總是滿秩的，那麼dim總歸是由座標系A的座標軸幾個向量的線性無關性決定的。
7樓：BILL
這裡「意義」有歧義，導致這個問題很難回答。
矩陣作為乙個數學工具被應用到了很多方面，因此矩陣轉置的意義也是多重性的。
比如在幾何中矩陣轉置代表幾何圖形的變換
之類的……？
8樓：
剛下了線代課，現代課剛講了矩陣轉置，上課刷了好長時間知乎，就給我推送這個，難道真的存在監聽……
PS:本人從來沒用知乎搜過學習上的問題……
9樓：毅淘琢
先看下 矩陣A的奇異值分解：
，其中 是 的正交矩陣, 是 的對角矩陣, 是 的正交矩陣。
這個式子的含義就是矩陣 可以分解為三個線性變換：
把向量對映到 的 維列空間裡
在新空間裡按伸縮向量
把伸縮後的向量對映到 的 維列空間裡
再看下矩陣 的轉置的奇異值分解：
。根據這個式子，我們可以知道矩陣 的轉置改變了矩陣 的兩次對映。轉置後第一次是對映到乙個 維空間裡，第二次是對映到乙個 維空間裡。
所以，如果你問的是轉置這個動作的意義，那就是改變了對映空間，但新的對映空間於之前的對映空間的相關性還是挺大的。如果你問的是矩陣 轉置後得到的矩陣 的意義，那麼它和矩陣 一樣，代表了一種線性變換的方式。
題外話，我們還可以看到轉置後的縮放係數（）沒有改變。這也是 的原因。因為矩陣行列式的幾何意義就是乙個區域的邊界經矩陣線性變換後，這些邊界組成的新區域的面積或體積的縮放係數。
對稱矩陣的意義是什麼
nohanhan 在物理世界的意義再給出乙個例子，在運用網孔分析法或者節點分析法列出電路分析矩陣時，對稱矩陣有著不可替代的重要作用。它會出現在不含受控電源的電路中，給計算帶來極大簡便。其實就是圖論的特色。換乙個角度，其實當題主對於一些數學概念不清楚作用的時候，不妨等學習得更加深入之後自然能找到用武之...
矩陣加法的幾何意義是什麼？
299792458 應該需要從特徵向量和對角化進行理解。特徵向量幾何意義是矩陣空間的旋轉軸但有乙個 的倍數關係，對角矩陣天生基向量為特徵向量。由於是 的倍數的旋轉軸，所以必然對應了另乙個化零空間。該化零空間與原矩陣空間的關係就是加法後降秩的關係。而加法意義還是跟乘法對矩陣空間的旋轉一樣，只不過是直接...
矩陣求逆的幾何意義是什麼？
或許可以這樣理解,將一組向量經過某種線性變換 逆矩陣 回歸為單位向量組。若一組向量的秩不滿則不存在逆矩陣，即低維不能線性變換為高維。 單建華 由於知乎不太好貼公式，請移步我的部落格 https blog.csdn.net jhshanvip article month 2020 03 過渡矩陣 舊基...