對稱矩陣的意義是什麼

1樓：nohanhan

在物理世界的意義再給出乙個例子，在運用網孔分析法或者節點分析法列出電路分析矩陣時，對稱矩陣有著不可替代的重要作用。它會出現在不含受控電源的電路中，給計算帶來極大簡便。其實就是圖論的特色。

換乙個角度，其實當題主對於一些數學概念不清楚作用的時候，不妨等學習得更加深入之後自然能找到用武之地。

2樓：阿列夫零

你當然可以從線性變換的角度來看待對稱線性變換。如果考慮線性變換，那麼記它的轉置為，其中是的對偶空間。當線性空間是有限維的時候，我們可以找到對應的同構，因此和也是一一對應的。

但是你也可以發現，這兩者本質上乙個是線性空間上的對映，乙個是對映構成的線性空間上的對映，沒有辦法直接比較兩者之間是否「相等」。要做到這一點，需要引入空間的一組基，或者通過內積引入。後者的定義比前者少一點「人工痕跡」。

特別地，如果，並且是乙個已知的內積（正定可交換雙線性對映），，那麼稱是對稱的。從這一點也能看出對稱性和正定二次型間有很緊密的聯絡。

此外，我們知道兩個對稱矩陣的積往往是非對稱的（對稱僅當兩矩陣交換時成立）。這是乙個比較奇怪的性質，因為這意味著對稱矩陣作為線性變換竟然不能構成群（或者更弱的么半群）。這一定程度上反應了對稱性本身並不是用來刻畫線性變換的，而是用在二次型上的吧。

關於行列式的置換不變性，和對稱矩陣的關係不大。行列式本身是基變換不變的，所以它其實可以定義成多重線性函式，滿足反交換性，置換不變性和歸一性。你可以驗證，滿足這些條件的多重線性函式是唯一的。

所以置換不變性是行列式固有的性質。