1樓：登日團隊CEO
行列式的幾何意義是體積，實質是對映。比如：
令： 則：
那麼行列式 det(A) 是乙個實值函式。它的幾何意義是：
在n維空間中，由 為邊構成城的幾何體體積。
行列式等於0，那麼它在這個n*n的變換下，在某乙個方向上的份量為0，導致在這個空間內的幾何體體積為0.
比如：在二維平面內有
那麼這個四邊形的體積為: " eeimg="1"/>因為： = (x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2\\ |\vec a| = \sqrt ,|\vec b| = \sqrt" eeimg="1"/>
=\frac \\ \therefore sin<\vec a,\vec b> = \sqrt" eeimg="1"/>
整理得：
也就是：
在三維空間內也類似。
由他們構成的行列式為：
當這三個向量線性無關時，才會構成三維空間幾何體，幾何體才有體積。
當這三個向量線性相關時，行列式必為0，構不成三位空間幾何體。
一般n維空間也類似。
2樓：初瞳
行列式的幾何意義可以從以下三點理解，具體如下：
單位面積/單位體積縮放或者拉公升的比例線性變換對空間壓縮或者拉公升的比例
線性變換會對空間進行擠壓或者拉伸，我們通過追蹤空間基向量的變換，來檢視單位面積(二維)/單位體積(三維)的面積或者體積縮放比例，而這個縮放比例，對應的就是行列式的值。
二維空間中行列式的值表示平行四邊形的面積，三維空間中行列式的值表示平行六面體的體積。
更加詳細的內容具體檢視利用線性變換的觀點來解釋行列式的意義，具體詳見
初瞳：線性代數的本質(5)--行列式
3樓：yang
下面說明為什麼矩陣行列式就是其列向量構成的平行2n麵體的體積：
先說明最特殊的情況。
根據行列式的定義，可以直接把列向量相互正交的行列式解釋為乙個n維矩體的體積，這個矩體的每個邊就分別是矩陣每個列向量。
(這樣解釋是因為對於每個列向量都正交的矩陣，其元素可以都在對角線上，這時候行列式就是對角線上元素的乘積，也就是矩體的體積)
但是一般的矩體並不是對角矩陣，但可以通過乙個SO(n)的旋轉變換矩陣將他變換成對角矩陣，又因為旋轉變換矩陣的行列式是1，所以一般矩陣乘上旋轉變換矩陣之後的行列式之後不會變，因此也能表示矩體的體積。
下面就說明為什麼一般平行2n麵體的體積也是其矩陣的行列式：
原因就是可以通過施密特正交化可以把乙個行列式不為零的矩陣變成列向量相互正交的矩陣。
(這裡不用化成單位正交向量，只用正交化就行了)
而且根據行列式的性質(任意一列加上其他列的線性組合，不會改變行列式的值)和施密特正交化的過程可以知道，行列式的值在正交化之後並不會變。
變成列向量相互正交的矩陣之後就是第二種情況，因此其矩陣的行列式也是其體積。
行列式的意義是什麼？
Monstarrrr 簡單的拿二維空間來說。如果把乙個2 2的矩陣看做是線性變換。那麼如果對二維空間施加這個線性變換，必然會使得原始空間發生一定的形變 如二維空間的乙個正方形，經過線性變換後變為了乙個平行四邊形，那麼這個變換的行列式就是表示這個面積 二維空間 變化的倍數。同理，三維空間就是表示體積的...
行列式為什麼稱作「行列式」？
天下無難課 一直覺得行列式的翻譯會帶來一些誤導，以為那是乙個 式子 而其實那只是乙個數。從英文determinant來看，這個數有被啥東西決定了的意思。從這個數是由矩陣的元素決定的這點來說，說它是矩陣的乙個 特徵值 或 特定值 倒是蠻貼切的，因為它是這個矩陣乙個確定的 特有的值。而線代里一直在說的 ...
行列式和矩陣的意義到底是什麼？
失落菌 矩陣和行列式都是對映的一種 對映就是一種運算元，對映後能看出來點別的東西。比如洗衣機就是一種不可逆的對映 把髒衣服對映為乾淨衣服 否則皺皺巴巴的也看不出來什麼 矩陣是R m維空間到R n維空間的一種對映 行列式shi該矩陣主元構cheng的超體積的一種對映 所以行列式具有反對稱性，變換了行列...