如何證明行列式的拉普拉斯定理？

1樓：

感覺樓上的證明有點複雜了, 可以不使用群論, 初等數學即可證明, 如果不耐煩也可以直接翻到底看思路總結.

定理:設為階行列式, 若選定個行 ,則

證明:既然是證明兩邊相等, 不妨從必要條件想起, 即要想兩邊相等, 則兩邊單項的數量要相等, 右邊的每乙個單項(包括符號)都是展開後的單項, 並且右邊沒有重複的單項[1]. 證明了這三條, 我們也就完成了Laplace定理的證明.

先考慮數量. 左邊的行列式展開後有項[2], 右邊展開後有 , 兩邊單項的數量是相等的.

於是, 我們先來證明如下的退化情形: 且 .

此時, , .[3]

於是 . 容易看出 [4], 於是求和號內進一步寫成 ,這正是展開後的乙個單項, 到此退化情況證畢.

由行列式性質, , 即中的每乙個單項乘以就得到了中的單項, 代回上式, 得到的每一項都是中的項. 到此就完成了第二個條件的證明.

最後來證明第三個條件, 即右邊展開後不會有重複項. 雖然這個結論看上去顯然, 但說明起來還是比較麻煩的. 我們考慮證明其逆否命題, "右邊展開式中任意兩個相等單項的指標必相等".

不失一般性, 選取任意行 , 同時選取兩套列指標和 .

對於第一套列指標, 展開後的任意乙個單項的形式均為 , 其中是的乙個全排列, 是的乙個全排列;

同理, 對於第二套列指標, 單項的形式為 , 其中是的乙個全排列, 是的乙個全排列;

假設 , 不考慮符號, 觀察第一項和 , 其行指標相等, 若想保證二者相等, 必須有 [6]. 同理, 我們得到 .

同時我們注意到到與是乙個集合(第二套指標同理), 由就能推得我們一開始選取的兩套指標也是完全一致的. 這樣就完成了第三個條件的證明.

綜上所述, .

*記號說明:

: 行列式選取行列, 交錯位置的元素形成的行列式. 稱為的階子式.

: 行列式選取行列, 劃掉這些行列之後剩下的元素形成的行列式. 稱為的階余子式. 則是代數余子式.

: 數列的逆序對數,也有教材記為 . 特別的, 我們把與其後元素形成的逆序對數稱為該點的逆序數.

: I don't care.

Laplace定理是我在數學課上學到的第乙個證明比較複雜的定理, 它的證明過程也很好地展現了乙個數學問題究竟該如何思考, 我也是在學習這個定理的過程中第一次embody了之前學到的那些"數學思維".

把證明這個定理的思路極度簡化, 相當於在考慮這樣乙個問題:

有兩個數對和 , 已知 , 的情況比較複雜, 我們想證明 . 如何思考呢? 對於乙個複雜問題, 我們只能逐步逼近, 在數學上, 這個過程就是尋找必要條件.

既然 , 那麼首先應該是個三元組, 否則完全沒有相等的可能性.

證明了也是三元組後, 我們繼續逼近要證明的結論, 也就是尋找必要條件. 我們發現的每個分量都滿足 . 那我們接下來要做的就是確保的每乙個分量也因滿足這樣的性質.

這一步也完成了後, 我們發現我們已經掌握的兩個命題與最終結論只是一步之遙, 我們只要確保中每個分量對應的不會重複即可完成證明.

證明Laplace定理的巨集觀思路就是這樣, 當然具體的證明過程中依然淋漓盡致地體現了許多數學思維, 比如對於任意選定的行難以處理, 那我們就先處理乙個簡單的退化情形, 再通過行列式的性質與實際情形架起橋梁.

P.S: 用Typora寫好的回答居然不能直接匯入, 還要手動建立公式, 不知道何時知乎編輯器才能全面支援markdown.

2樓：

為了方便理解，你可以先證按最後一列展開。

n階行列式的定義就是n！個乘積的和，然後你對每個乘積，按最後一列取第幾個分為n組，每組（n-1）！個，再整理一下就可以得到(n-1)階的乙個行列式乘上-1的若干次冪了，其中-1的若干次冪是最後一列取的數所貢獻的逆序數。

按其他列展開，你只需要在前面的結果上做交換列的變換即可。按行展開同理。

整個證明過程就是乙個比對數字的過程而已，只需要你細心一點對一下。

另外還有個按m列展開： (n*n)行列式= 個｛(m*m)子式*(n-m)階代數余子式｝之和 ,這個你可以按上面的同樣方法，把所有行列式全部展開為乘積求和，然後細心比對證明。或者也可以對m用數學歸納法證。