1樓：mathe
考慮將第k行全部除以 ,第k列也全部除以 ,於是結果轉化為
然後可以對最後一列展開利用數學歸納法來解決.
上面的方法看上去不錯，但是發現是錯誤的。
但是經過研究可以發現，如果將原矩陣後k行k列對應的行列式記為 ,而原矩陣第i行第i+1列位置元素記為 , 第i+1行第i列記為 .
那麼對於一般的這樣的三對角陣, 按照第一行展開，可以得出
可以看出任意調整 的值，只要保持 乘積結果不變，行列式的值 的值不會發生變化。
同樣，任意調整 ,只要保持乘積 的結果不變，那麼行列式 也保持不變，從而的值也保持不變。依次類推，我們可以任意調整各 ，只要保持所有的乘積 不變，那麼三對角陣的行列式的值都保持不變。
由此，原行列式可以等於
然後將前n-1行都累加到最後一行，提取x+n-1得到結果為
類似可以找出因子(x-n+1),但是其它因子還找不出來
搜尋了一下網路，結論是正確的，表示式需要稍微修改一下，右邊式子中n-2k需要改為n-1-2k.
據說在Muir'sTreatise on determinants 第559頁有結論
若於是https://
其中 代表
所以顯然，對於本題，將y=n代入就正好給出我轉變以後的形式。
然後將x=(n-1-2h)代入，那麼 ，於是兩者要麼前者小於k要麼後者小於n-k,於是必然 .
所以得出 的n個根分別為-(n-1),-(n-3),...,(n-3),(n-1)，得出結論
2樓：斯太森
用點矩陣的思路吧。
lAl可以看作是乙個對稱矩陣的特徵多項式，結合結論可以猜測這個矩陣的特徵值是
n–2k
只要猜一猜對應的特徵向量就行了吧。
(純思路)
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