1樓：大臉阿望
學數學不是做計算題，不是每乙個問題都是給乙個具體的行列式或者線性方程組給你算的。誠然如果作為乙個通用演算法而言，這兩個定理並不一定是好的選擇，但是對於很多特殊問題而言這兩者是很好用的，特別對於抽象的定理證明，反而對於具體計算的通用演算法難以發揮作用，這種時候更多的理論工具是需要的。本文以一些簡單的例子帶大家粗略感受一下兩個定理的作用。
關於拉普拉斯定理，他事實上是行列式按行（列）展開的推廣，我能按照一行（列）展開，自然會想到去用多行（列）展開。拉普拉斯定理在處理0多的行列式時是非常有用的，舉幾個例子：
例1：利用拉普拉斯定理直接按第一行和最後一行展開即得遞推式 .於是立刻能得到 .
例2： .
利用拉普拉斯定理對前s行展開即得 .
例3：證明對n階方陣，若s>n/2,存在s行和s列的交點元素皆為0則行列式值為0.
只需按交點元素全為0的s行或者列用拉普拉斯定理展開即得行列式值為0。
克拉默法則利用行列式來判斷、計算線性方程組根的情況，而行列式擁有豐富的性質，所以在一些情況下利用行列式來進行判斷根的存在性或是別的性質，甚至於計算根都是有便利的。接下來舉乙個例子。
例：設 是橫座標皆不相同的點，證明存在n-1次多項式過這n個點。（即證插值多項式存在性）
設 ，證明插值多項式的存在性即將 當作未知量，求解方程組 .由於係數行列式是范德蒙德行列式，又由橫座標不同，從而行列式值不為0必有唯一解，於是插值多項式存在。（當然這個問題本身有構造性的證明）
2樓：LaLa小喇叭
理論的完備性很重要，Laplace定理和Cramer法則雖然操作起來非常繁瑣，但是它在證明上的作用是非常重要的，比如我們常用的線性方程組的行變換解法的基礎：方程組有解的判定定理(係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩)就是用Cramer法則證明的，如果沒有它，行變換解法將無從談起。
3樓：洪武ea
行列式主要是給出了一組向量是否線性無關的判據。同理，克萊姆法則可以給出一組方程組，如果行列式非0，那麼必然有解。如果只要求存在性，就不需要繼續算了。
個人認為最重要的是，它可以用來判斷線性空間到自身的同態是否是同構。
當然，它還有一些性質，例如代表線性對映對體積的作用，是唯一的n重交錯對映。推廣到K理論中用來刻畫K0函子與Pic的對應。
如何證明行列式的拉普拉斯定理？
感覺樓上的證明有點複雜了,可以不使用群論,初等數學即可證明,如果不耐煩也可以直接翻到底看思路總結.定理 設 為 階行列式,若選定 個行 則 證明 既然是證明兩邊相等,不妨從必要條件想起,即要想兩邊相等,則兩邊單項的數量要相等,右邊的每乙個單項 包括符號 都是 展開後的單項,並且右邊沒有重複的單項 1...
關於利用留數法計算拉普拉斯逆變換的問題？
如夢亦如幻 我只給個簡單解釋 拉普拉斯逆變換是與冪函式相關的。如何解可以套用留數定理。留數定理的實質是解算該積分係數。所以兩者等價。為什麼？關鍵是留數定理，這在復函式有完整理論推導留數定理吧，如果不想太麻煩就直接用，我就不貼上來了，有興趣自己推。 羅旻傑 Laplace 變換這種重要的工具因其背後的...
為什麼樸素貝葉斯分類中引入的拉普拉斯修正是正確的？
克勞德 知道了貝葉斯估計就比較好懂了 在貝葉斯統計中，如果後驗分布與先驗分布屬於同類，則先驗分布與後驗分布被稱為共軛分布，而先驗分布被稱為似然函式的共軛先驗。共軛先驗的好處主要在於代數上的方便性，可以直接給出後驗分布的封閉形式，否則的話只能數值計算。共軛先驗也有助於獲得關於似然函式如何更新先驗分布的...