1樓：zdr0
由於行列式的值與其所對應的方陣的轉置行列式的值相等
所以在一開始對應成比例的兩行經轉置之後會變成對應成比例的兩列
這兩列假設對應k維向量
由於這兩列對應成比例，所以這兩個k維列向量是線性相關的
由於行列式的幾何意義是體積的推廣
所以，從行列式的幾何意義上來講，由這個行列式所對應的方陣所生成的k維圖形在k維下是沒有「體積」的，即k維下的體積為0
或者說這個方陣無法生成k維圖形
比如乙個一般的三階行列式所對應的方陣，生成的是三維歐式空間中的乙個平行六面體
但若其中兩行（列）對應成比例即線性相關，則該行列式對應的方陣只能夠生成一張空間平面，也就是說這個行列式在三維空間中的生成體積為0。
若三階行列式的三行全部線性相關則該行列式所對應的方陣只能生成一條空間直線，顯然，三維下的空間直線沒有體積。
2樓：三川啦啦啦
這個性質是行列式基本性質的推論，從定義論證才不致迴圈證明。
從行列式的定義出發：
其中置換σ是k個對換的乘積，而ε(σ)被稱為置換σ的符號。ε(σ)為+1時，稱置換σ為偶置換，反之，則稱之為奇置換；
定義和式中的每一項，來自於矩陣A不同行不同列元素的乘積。
（也有的課本用逆序數定義，其本質上是一樣的。）
我們將上圖中的和式分成倆倆一組，每一組可以正負抵消。
具體做法如下：
已知有兩行對應成比例：
如上圖示意，當選取不同行不同列的元素組成α項：
α = … a … b』 …
對稱地，也會有β項：
β = … a』 … b …
α, β兩項在「…」處的元素完全一樣。又因為兩行對應成比例，不妨設：
k (…, a, …, a』 , …) = (…, b, …, b』, …)
於是α = … a … b』 … = … a … ka』 …
β = … a』 … b … =… a』 … ka …
於是α = β
最後我們考慮α與β要佩帶的符號ε：由上式可知α、β兩者列標的排列，只差乙個對換（或者逆序差1），於是ε(α)、ε(β)的符號相反，代入行列式中，像α、β這樣的項最終兩兩抵消，故行列式為0
Q.E.D
另外，從幾何直觀性而言，行列式是在n維空間中，由n個共起點的行向量，所圍成單純形的有向體積（可能為負）。例，n=2時，是平形四邊形面積；n=3時，是平行六面體體積。那麼當行列式有兩行對應成比例，即兩行向量共線，此勢必造成乙個面退化為了一條線（降維），於是體積為0（最簡單的情形，就好比在二維情況下，平行四邊形的鄰邊共線，那麼面積就為0了）。
行列式為什麼稱作「行列式」？
天下無難課 一直覺得行列式的翻譯會帶來一些誤導，以為那是乙個 式子 而其實那只是乙個數。從英文determinant來看，這個數有被啥東西決定了的意思。從這個數是由矩陣的元素決定的這點來說，說它是矩陣的乙個 特徵值 或 特定值 倒是蠻貼切的，因為它是這個矩陣乙個確定的 特有的值。而線代里一直在說的 ...
如何證明行列式的拉普拉斯定理？
感覺樓上的證明有點複雜了,可以不使用群論,初等數學即可證明,如果不耐煩也可以直接翻到底看思路總結.定理 設 為 階行列式,若選定 個行 則 證明 既然是證明兩邊相等,不妨從必要條件想起,即要想兩邊相等,則兩邊單項的數量要相等,右邊的每乙個單項 包括符號 都是 展開後的單項,並且右邊沒有重複的單項 1...
通俗地解釋行列式與其轉置行列式相等的原因？
gbwrhj 首先有D 1 t a 1p1 a 2p2 a npn 這是原行列式的公式，其中括號表示下標，1，2，n表示的是行標，而p1,p2,pn表示列標，t為列標的逆序數 D T 1 t a p1 1 a p2 2 a pn n 我們可以發現二者只是行列調換罷了，我們可以試著看看能不能把原式轉換...