1樓：迅哥兒1399
不妨思考散度和旋度為啥起這個名字，它們的定義是否有脫離座標系而完全依賴於空間本身的形式。
中科大常庚哲史濟懷的《數學分析教程》中的引入方式給出了兩種場操作的幾何意義（這裡指只依賴於空間本身而不涉及座標），可供參考。
2樓：林東
恭喜你發現了問題所在，你所觀察到的邊界和積分的關係實質上是兩個邊界函子之間的關係。具體來說就是我們熟知的流形的邊界，另乙個就是de Rham 外微分邊界運算元 d，這兩個運算構成了伴隨關係。用category的語言來說就是一對 adjoint operator。
3樓：陌路
老師講的太好了,我認為這個才是真正的用積分定義證明的證明方法.我直接就理解了.書上是通過計算證明的,雖然會算了,但是想了一上午也想不出來意義是啥.我認為這個應該進書中.
4樓：Beny
感覺是說明了流形上的同調理論和de rham上同調理論裡，取邊界partial和求導d是共軛的，在如下意義下:設M是某個大流形N的帶邊界的光滑n子流形，w是N的n-1微分形式，那麼(partial M,w)=(M,dw). 手機碼的勿見怪。
看了Y Fan的答案感覺和他表達的是乙個東西。
5樓：
乙個定義在閉區域上，性質足夠好的函式，它的邊界性質（在邊界上的積分）與它的內在性質（其導數在區域內部的積分）產生聯絡。相由心生，相由心生，相由心生。就如前面回答者提到stokes公式一樣，Green公式可視為N-L公式的推廣。
另外，想聯絡一下二維調和函式（n維也可以）的平均值性質。調和函式的邊界上的數值大小定下來了，那麼它內部的數值也就定下來了。特別地，當考慮邊界為圓周時候，那麼調和函式在圓心的值就是邊界上取值的平均（用定積分表達無窮個數的平均數）。
感覺這和Green公式有異曲同工之妙！學到復變函式就會感受到它們的聯絡了。
6樓：
我說句題外話，別摺疊我---嚶嚶嚶---
stokes定理的幾何意義我覺得是挺明顯的，高維流形被線性流行截出低維流形，低維上的流形滿足stokes定理，就能歸納出高維的。
最低維的就是牛萊公式。高一維格林公式，stokes公式......
我想說的是我真的震驚於竟然有很多人完全不關注幾何意義，那估計也理解不了什麼證明了，看來高數只有計算。
什麼高數不就是為了計算之類的，我是反對的，形式化沒必要，但基本的原理總得明確吧，否則還不如下個matlab。
7樓：德萌
幾何意義沒聽說過，但是物理意義是非常有趣的。只需六七個小時，絕對可以初步理解梯度、散度、旋度以及Stokes公式、Gauss公式
材料：《費恩曼物理學講義》第一卷+第二卷
筆記本
主要內容：
《費恩曼物理學講義》第二卷第一到三章
第一章電磁學
第二章向量的微分運算
第三章向量的積分運算
輔助內容：
《費恩曼物理學講義》第一卷第十一章向量
具體方法：
1.確保具備高中的基本物理知識（這個估計應該沒問題）
2.先讀第二卷第一章電磁學 ，全部瀏覽但沒必要把每個物理知識點都弄得很懂（畢竟不是專業的），主要是為後面兩章做乙個預備
3.讀第一卷第十一章向量，同樣不需要把所有的物理知識點都弄懂，著重看費恩曼對於向量這個物理量的解釋
4.讀第二卷第二章和第三章，可以略去其中熱流的微分方程一部分的例子，但其餘部分一定要精讀，確保理解整個過程、涉及到的模型、概念的引入等等
5.邊讀邊記筆記，回頭結合高數課本進行總結歸納，再做做習題思考練習，基本上對於Stokes公式、Gauss公式以及梯度、散度、旋度等有乙個較為清晰的認識了。
其他：1.親測可用，一步步來，讀完感覺身心巨爽，畢竟費恩曼就不多介紹了，最擅長把複雜的東西搞得簡單有趣
2.最好是中英文對照（主要答主的水平看全英文太費事），個人感覺中文翻譯的有些地方比較不舒服，直接讀英文更好理解些
3.上面說到閱讀中可以略去的部分主要是由於本人物理水平只是一般高中生，只是為了輔助更好的理解數學內容，答主要是懂的話當然更好了
4.圖書館應該能借到，要是借不到https://
9個人覺得費恩曼講得非常的妙了，讀完興奮的三點睡不著覺。前兩天剛從這一章中走出來，有不當處還請大佬們指教。
學爽了之後記得回來點攢哦！
8樓：Yuki Yuna
如果要統一的話有個統一公式叫做斯托克斯定理。
其實就是「降維打擊」，這種「降維」是保持了面積(體積)這種性質不發生改變。
在乙個矩形上。
題主去理解一下微分形式的話，這些公式的意義一目了然。
9樓：黑色高階車
挖墳，感覺幾何意義十分明確，但是一直不能理解數學表達的推導。
雖然有面積分這個概念，但是解的時候還是把dS 化成dxdy，再把上下兩條曲線方程帶入。這就已經明確了曲線和場是對面積分起決定作用的。再複雜的面，也都是用線畫出來的，格林公式以數學形式進行了說明。
也許是個人的問題，總感覺大學課本對其的證明太（巧），不太能接受。個人認為表達一條曲線使用帶k引數方程更有普遍性，嘗試過使用有週期性引數方程表達格林公式，但一直沒有結果。就把見解這個問題下先
10樓：
幾何意義不知道，物理意義了解一些
格林定理就是說
乙個平面場，裡面有個閉合的路徑，那麼，乙個粒子，沿這個路徑逆時針轉一圈，場對這個粒子做的功，就等於，這個場的旋度的k分量（它是個標量），在這個閉合路徑所圍成的區域內，對面積的積分，或者說得更通俗一點就是把這個區域內每個點的旋度的k分量加起來。
還有乙個散度和向外通量的關係，簡單來說，就是場從路徑邊界跑出去的速度（就像人群從超市出去一樣），等於，場的散度，在區域內對面積的積分，也就是把各點的散度值加起來。
比如說一秒，有10kg的場從路徑邊界跑出去，那麼散度的和就是10kg/s。
11樓：alphacalculus
牛頓 – 萊布尼茲公式
其中將牛頓 – 萊布尼茲公式寫為
也就是，在1維區間[a,b]上的積分可以用它的原函式在區間的邊界，即點a和b處來計算，即將線上的運算簡化到線的邊界點上來計算.我們知道，點構成線，線構成面，面構成體.所以將線上的運算簡化到點，即線的邊界上來計算是一種簡化.
同理，我們要將面上的運算簡化到面的邊界，即面的邊界線上來計算.這就是格林公式的邏輯.
簡化過程如下：
設閉區域D由分段光滑的曲線圍成，函式P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階連續偏導數，則有
上面是數量值函式表示式，用向量值函式表示式更能看出其中的含義，我們來推導.
從而格林公式等號右邊是
由牛頓 – 萊布尼茲公式可知，需要簡化的積分的被積表示式是的微分，同樣地，面積分中，被積表示式是的微分，不過注意是二元向量值函式，是向量；
用向量表示為
12樓：王潛公升
格林公式有兩種形式，同濟版教材中的是旋度形式，更容易理解的形式是散度形式，一塊區域中的散度的積分，就是邊界的的通量。
主要的問題是同濟版的教材在完全不涉及場論的情況下講完了曲面積分和格林公式，光讓你會做題，不讓你理解。
13樓：暮無井見鈴
把直角座標系下的看成乙個三維空間中的場，則它的旋度（）為。
這個公式的可以理解成：乙個連續光滑的平面場繞邊界一周的旋量等於其旋度在邊界內部區域的累積。
14樓：李遲
如圖，等於Q(x,y)在yoz、xoz平面上的投影面積。
………………………錯誤的分割線
上面有些不對，只適用於Q是單調函式的情況，事實上大概是帶符號的投影面積。。。也就是重疊的投影可能會相互抵消。。
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