1樓：
前面 @等待飛翔 已經講得非常好了，並且給出了乙個Hilbert空間的例子，本回答也就做一點補充，給出乙個直觀但未必嚴謹的說法。雖然數學也有Riesz表示定理、Riesz定理這種東西，不過還是以下面的Riesz引理作為基準：
是賦範向量空間的乙個閉子空間且, 則對於任意, 任意, 存在使得\epsilon." eeimg="1"/>
賦範向量空間 內含有真閉子集 ，那麼根據Riesz引理，我們能夠拉到一張距離為 -網，但是這張網並不能覆蓋全空間 裡面的所有範數為1的元素。
我們取立體直角座標系 為全空間，同時我們需要子空間是線性的（注意線性性），所以用水平面 來作為線性子空間，由於子空間是閉的，子空間的閉包也在子空間內，這一性質其實也是為了保證距離為0時，對應的點能夠在子空間內。
此時我們考量範數為1的情況，顯然，這是乙個三維球面
那麼我們做一張 -網，z的絕對值小於1的時候，就會被包含在這個網當中，但是，當z=1或z=-1時，我們發現這張網就沒法包住這兩個元素了。那麼我們可以說，存在乙個 ，使得 \epsilon " eeimg="1"/>，也就是我們這個定理要說明的內容。
2樓：
假設你說的Riesz引理指的是下面這個定理：
是賦範向量空間 的乙個閉子空間且 , 則對於任意 , 任意 , 存在 使得 \epsilon." eeimg="1"/>
如果 是乙個Hilbert空間，那麼這個定理成立其實就很簡單了，因為你把 取成與 垂直的方向向量就好，並且此時 可以取到 。但是在一般的空間中我們沒法去談垂直，這個時候Riesz引理實質上就告訴你，我們可以從另外的一種方式去引入某種垂直的的概念。這在證明，比如Banach空間上（此時沒有垂直的概念）的緊運算元有類似於矩陣的譜分解的時候，有著重要的作用。
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