1樓：
以小白的角度，對@Halcyon的回答 點到直線距離公式的幾何解釋是什麼？中的幾何解釋的開頭進行一點計算過程的補充
在此之前，先解釋兩個東西
一：設角1為這兩個向量的夾角，改一下這兩個向量的描述方向二：引用 @馬新超 的 點到直線距離公式的幾何解釋是什麼？
中的話「設直線l的方程為Ax+By+Cz+D=0 顯然它與直線Ax+By+Cz=(A,B,C)(x,y,z)=0平行. 而後者從表示式可以看出它和向量(A,B,C)垂直」，
同理，所以可設二維平面內，直線l方程為Ax+By+C=0，的法向量為ON，N座標（A, B）
所以有了開頭，只是ED向量換個方向
2樓：l一卉
利用向量座標運算的特性解決該問題，也能很好的闡釋幾何意義。該原理為：向量點乘的座標運算可以計算出不共線直線彼此投影長度（模長）的乘積。以下用長度代指模長。
下述文字須依據圖來思考：我們的目的為找到乙個點到乙個直線的長度，故我們利用上述原理可以找到兩條向量，其中一條必須為垂直於該直線的一條向量，這樣才能保證兩條向量點乘後的投影長度積也是垂直於該直線的，也就是法向量。接下來尋找一條向量使得它在法向量上的投影為點到直線長度，得到總投影長度乘積後除掉法向量的長度（模長），便只剩餘了投影下來的長度，也即是要求的點到直線距離。
法向量，即n=（A，B），至於原理，譬如Ax+By=0，x取B時，y=-A，恆過點（B，-A），設為乙個向量，與他垂直的即為（A，B）向量，即為與直線平行的法向量，法向量有很多，但通過方程一眼可得的即如上所示。帶截距也就是C的直線與過原點直線平行，法向量不變。
法向量的長度，即模長，為根號下A方+B方。
依據上述思想，向量a與法向量n點乘後得到投影長度積，除掉法向量的長度即可。
右側方法受到知乎使用者陳明亮的啟示，將此步驟分為兩步，如圖，向量a與向量n點乘後除掉向量n的長度，加上向量b與向量n點乘後除掉向量n的長度便是完整的點到直線距離。
3樓：小屁孩子乖點
考研的時候思考過這個問題，當時就是想搞明白公式中各個量所代表的幾何內涵，高中的時候學過用最笨的方法推導，根本沒有顯示出各個量是怎麼來的，就是純計算的過程，而且很繁瑣，就很煩，後來自己想到了這個推導，各個部分在幾何中的意義一目了然。
4樓：予一人
點 到直線 的距離
為了簡單地證明這個公式，我們利用向量法。在該直線上任取一點 易得直線法向量為 所欲求的不過是 在 上的投影，於是就有
5樓：ellisonliu
理解：點與直線上任意點之間構建的向量在單位法向量方向的投影的模就是最短距離d
點到直接的距離公式：我想弄明白兩點：
分母 到底代表什麼？
分母是：單位法向量的分母
分子 代表什麼意思？
分子是：點與直線上任意點之間構建的向量在單位法向量方向的投影
解釋：平面外任意一點 與平面上任意一點 形成的向量表示
上述向量在單位法向量方向的投影的模就是最短距離d單位法向量：
投影知識點：向量的點乘代表乙個向量在另乙個向量上的投影；
在單位法向量的投影：
在單位法向量的投影的模：
其中由平面公式推導最後一步：
6樓：
過 點畫一條與直線平行的線，它的解析式是
然後構造乙個高為 ，兩條直角邊分別等於兩條直線在y軸與x軸上座標差的直角三角形.
根據勾股定理，斜邊等於
最後根據三角形面積求出
7樓：馬新超
設直線l的方程為Ax+By+Cz+D=0 顯然它與直線Ax+By+Cz=(A,B,C)(x,y,z)=0平行. 而後者從表示式可以看出它和向量(A,B,C)垂直.
考慮直線外一點P和直線上一點Q，則有向量PQ，如果它垂直於直線l，那麼PQ的長度就是點到直線的距離。如果它不垂直於直線l，那麼設P到直線l的垂足為R，由直角三角形的關係，PQcost=PR，cost是PQ與PR夾角的余弦，而PR與(A,B,C)都垂直於l，因此它倆平行。於是，夾角t可由PQ和(A,B,C)得出。
現在，P已知，Q可任取，(A,B,C)已知，故t已知。於是PR的長度已知，於是點到直線的距離已知。
將以上過程用座標寫出來就得到了點到直線的距離公式了。
核心思想：垂足R不好求，我們利用向量繞過了求R，間接地求出了PR的長度。
格林公式的幾何意義是什麼？
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當下的工程學對經驗公式依賴程度幾何？
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