1樓：長行
已知 為 n 維歐式空間中的 n-1 維超平面 ，其中 和 均為 n 維向量；另有 n 維空間中的點 。求證：點 到超平面 的距離 ，其中 為 的 2-範數。
證明如下：
由超平面 的定義式可知 為超平面 的法向量， 為超平面 的截距。
設點 在超平面 上的投影為 ，則有
點 到超平面 的距離 即為向量 的長度。
因為 與超平面 的法向量 平行，所以 與法向量夾角的余弦值 ，故有又有（應用向量點積的分配律）
由式(1)，有 ，故式(3)可以寫成
由式(2)和式(4)，得得證。
2樓：付恒
這個可以從幾何去理解：
假設有個向量v， 那麼
點積w.v的幾何意義是v在w上的投射到原點的距離再乘以||w||，即 w.v=d(v',0)*||w||
同樣 w.x = d(x',0)*||w||= -bv到超平面的距離就是v'到x'的距離：
d(v',x')=d(v',0)-d(x',0) = w.v/||w||-(-b)/||w||=(w.v+b)/||w||
3樓：王芊
r = w*(x-x0)/||w|| = (w*x- w*x0)* /||w|| =(w*x+b- w*x0-b)* /||w||= (w*x+b) / ||w||
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