如何理解雅克比矩陣？

1樓：Alepha E

我從Jacobi的形式上簡單寫寫。。

首先，考慮微分定義。

考察函式，其中的區域，且有點。記全增量。對於，若，使得則稱於處可微。

這時，要注意到，和能決定什麼

然後形式上，我們管RHS部分中的稱之為全微分，記為當然，要是可微的話，那些可微的話，就是相應偏導了。

然後用矩陣的方式去刻畫，就有

接著，對於向量函式

實際上是考慮

然後對其微分就是對每個做微分。於是類似可有綜上，能夠看到，微分就是把原先可微的對映轉化為在區域性某一點，以變化量為不定遠的線性方程組。

（然後就可以搞梯度下降法來訓練你的神經網路了。。。

2樓：圖騰

就像我們在學習線性代數的時候，線性對映是乙個抽象的概念。所以如果我們想具體的計算一些與線性對映有關的量，就需要引入座標表示——矩陣。

要知道微分對映本身也是乙個線性對映，既然是線性對映我們就可以把它座標化成乙個矩陣，這就是雅可比矩陣。

3樓：

大家都說了分析/代數性質；我來說點幾何性質。

以一維的幾何為例，由於一維上度量可以反映任意自由度為1的變數的全部特徵，所以一維上的積分都可以用來描述，此即一階微分不變性。【你可以想象你在繩子上前進，關係到你移動路程的實際上只要乙個變數即你移動的路程就可確定了，這也就是一維的幾何的內蘊性質】

舉例：,雖做變換,但是直接將2取出即可。

到了二維的幾何就不行了，要描述乙個積分，就再也不能只用這樣簡單粗暴的方法了。我們需要考慮的，是二維曲面本身的性質。而雅克比矩陣就可以刻畫這種性質。

當我們使用的時候，我們實際上有就是這一組微分在這乙個平面上的投影面積，也就是說，我們不經雅克比矩陣，直接用兩個偏導數乘積來表示的面積是不準確的。而雅克比矩陣才是這兩個面積比例的真正度量。

(彭家貴，微分幾何)

可以看到任意一組非直線引數下的面積投影到平面正交引數上，可以寫成雅克比矩陣的行列式（這裡是雅克比矩陣行列式的平方開根號，[E,F;F,G]為雅克比矩陣乘以其轉置）；再將另一組引數也投影一次，亦可以寫成這個形式；這樣就間接得到這兩組引數相互投影的面積比值。

所以當我們對二元函式積分時，我們有：舉例:,因為這個即雅克比行列式的值，才是與的面積的比值。

故而雅克比矩陣的幾何性質，就是將不同引數下的一階導數【1-from】建立聯絡，其行列式的值，也就是不同引數下，微分四邊形面積的比值。【沒找到圖有點遺憾。。先匿了，想起來了找到圖了再來。。】

4樓：玟清

求微分其實就是線性化，導數其實就是線性空間之間的線性變換，Jaocibian矩陣本質上就是導數。

比如，對映在處的導數就是在處的切空間到在處的切空間之間的線性對映。切空間都是向量空間，都有基底，所以這個線性變換就是矩陣。在歐氏空間子空間的開集上，切空間就是某個，比如實軸上的切空間就是，曲面上的切空間為。

這樣一想，函式的導數無非就是切空間到切空間的線性變換，是乙個矩陣，同構於乙個實數。

因此，Jacobian矩陣實質上就是切空間之間的基底之間的線性變換，這也是為什麼積分中變換座標時前面會乘以乙個Jacobian矩陣的行列式。

5樓：森林

用導數理解雅克比矩陣是明智與正確的。

導數作為切空間上的線性對映，可以適當選擇基底(在歐式空間裡，基底的選擇用自然對映構建即可)，給出切空間上點的座標，從而線性對映就具體化為乙個矩陣。在歐式空間中，這個矩陣自然地是雅克比矩陣。

6樓：十一太保念技校

區域性線性化，可以考慮泰勒展開到第一階的形式。對於向量函式Y=f(X)，在X=X0附近的性質可以用f(X0)+A*(X-X0)來逼近