1樓：張子凡
你不覺得相似與合同的定義很像麼？
若C正交時，則有 ，即
由此可見，相似是合同當C正交時的一種特例。
相似是線性變換的恰到好處。合同是線性變換的沒那麼完美，但也是有一些性質可用的。
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五塊蛋糕
2樓：
相似是同乙個線性變換在不同基下的矩陣，這個好理解。下面說一下合同吧。
合同是同乙個二次曲線（用二次型表示）在不同基下的關係。
二次曲線（就是二次型）X'AX 經過座標變換（就是線性替換）X＝CY 化為 Y'(C'AC)Y＝Y'BY，其中 B＝C'AC ，我們稱 A 和 B 是合同的。經過非退化線性替換，二次型還是變成二次型（二次曲線還是那個二次曲線），只不過原來的基座標是 X ，現在是 Y。
所謂合同矩陣的正負慣性指數相同，是指合同變換後二次曲面的形態不變。
下圖中，以x，y為座標軸的二次曲線和以x''，y''為座標軸的橢圓可以理解為是合同的，橢圓是原二次曲線的標準型，更進一步可以經過線性替換化為規範型（乙個同軸圓）。
（儘管上述命題嚴格上存在偏頗，但無傷大雅）這樣想是不是直觀很多？
3樓：
Gee Law的答案言簡意賅地道出了本質。
我這裡來對那個答案做一些補充說明。
先說相似矩陣：
在一組基底 下，乙個向量 通過線性變換 ，變成另乙個向量 的過程，記為列向量與矩陣相乘的形式：
其中 分別為
在基底 下的座標分量， 為線性變換 在該基底下的矩陣形式現在換一組基底 。
假設新的基底下，向量 的分量形式為列向量 ，線性變換 對應的矩陣為 ，那麼線性變換 在新基底下的表現形式為：
再假設向量的分量滿足基底變換關係：
於是 兩邊同時乘以 ，可得：
對比原基底下的表達形式 ，可知 ，也就是 和 互為相似矩陣。
所以相似矩陣可以看做同乙個線性變換在不同座標系下的表現。
接下來說合同矩陣。
Gee Law同學的答案中提到的雙線性形，可以看做是兩個向量 做直積所得的結果，記為：
如果給定一組基底 ，那麼這個過程可以寫成矩陣形式，即乙個列向量和乙個行向量的乘積：
(其中 分別為 在該基底中的列向量形式)
現在換一組基底 ，在該基底下向量 的分量形式分別變為 ，雙線性形的矩陣形式變為
還是假設 滿足座標變換：
則： 這就是一對天造地設的合同矩陣。
當然，很多同學可能會迷惑：這個雙線性形到底意味著什麼？
其實它在物理學中還對應乙個類似的量，叫做張量 (Tensor)。
它其實是相對論最重要的語言，狹義相對論中那個重要假設：
所有慣性參考係下物理定律具有相同形式
只有通過張量才能得到最透徹的理解，因為不同慣性參考係間物理定律表現形式的變化關係，就是通過張量的合同變換來描述的。
而廣義相對論中，時空彎曲和質量能量的分布，更是離不開張量的表述。
有興趣的同學可以瞧瞧我的科普文：
PeiLingX：[深度科普] 張量：理解相對論的必備語言 (上)
PeiLingX：[深度科普] 張量：理解相對論的必備語言 (下)
PeiLingX：[深度科普] 度規與時空(上)：從二次型的幾何直觀說起
PeiLingX：[深度科普] 度規與時空(中)：光速不變背後的時空幾何
PeiLingX：[深度科普] 度規與時空(下)：黑洞邊緣的獵奇之旅
4樓：曼陀羅
想從定義出發然後（直觀理解）的看過來
先講一下前提:
A∽B的定義是B=P-1AP
任給線性空間V的乙個基（α1，…，αn），由於P是可逆矩陣，定義（β1，...，βn）：=（α1，…，αn）P
，則（β1，...，βn）也是V的乙個基，於是P是（α1，…，αn）到（β1，...，βn）的過渡矩陣
對於任意向量ξ∈V，ξ=（β1，...，βn）X，即X是ξ在基（β1，...，βn）下的座標
再看P的直觀理解:
由於（β1，...，βn）X=（α1，…，αn）PX，所以P左乘X的意義就是把ξ的座標由基（β1，...，βn）下的X翻譯成基（α1，…，αn）下的(PX)
現在來看相似:
相似的定義式右乘X得
BX=P-1APX
從右往左看
PX: 先把ξ從基（β1，...，βn）下翻譯到基（α1，…，αn）下
A(PX): 然後對ξ作線性變換
P-1（APX）: 最後再把變換後的向量從基（α1，…，αn）下翻譯回基（β1，...，βn）
將整個操作打包（P-1AP），等號告訴我們「裝了翻譯介面的A」：（P-1AP）和B具有同樣的功能
於是A和B就是同乙個線性變換分別在基（α1，…，αn）和（β1，...，βn）下的矩陣
合同也一樣：
A B的定義是B=C'AC
同樣的C是某過渡矩陣
X'BY=（CX）'A（CY）表示將兩邊的向量先翻譯到A的基下
所以B和A只是不同基下的雙線性函式
5樓：課題組老師很棒
複習考研中。。
琢磨了一下，用人類語言說一下。
假設你叔叔（你爸爸的親弟弟）家有乙個弟弟。
記P為父親關係， 是兒子關係，A是親弟弟關係，B是表弟關係，你是x，你爸爸是Px，那麼你叔叔是APx，你弟弟是 ,也是Bx，即 。可見A、B都表示的是弟弟關係，只是站的角度不同（親弟弟與堂弟）
6樓：HANNAHandJUDY
一總述:
同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的，且相似變換矩陣恰為兩組基之間的過渡矩陣;歐式空間中不同基的度量矩陣是合同的，且合同變換矩陣恰為兩組基之間的過渡矩陣;歐式空間中一對稱變換在不同標準正交基下的矩陣是正交相似的，且正交相似變換矩陣恰為兩組標準正交基之間的過渡矩陣。
二關於化二次型為標準形:
比如原二次型的矩陣與其標準形的矩陣就是合同關係，當然，合同也是一種對角化，且用可逆線性變化X=PY化二次型為標準形求出的D即為對角矩陣，但此D≠diag(λ1....λn) ,λ1....λn為二次型的矩陣A的全部特徵值，求P和D的方法有配方法和初等變換法兩種。
而用正交變換X=QY化二次型為標準形即為正交相似對角化，求出的Λ＝diag(λ1...λn)，λ1...λn為二次型的矩陣A的全部特徵值，求Q的方法只有正交相似對角化法一種(注意求Q時需要施密特正交單位化)。
三聯絡相似就是乙個矩陣在同一空間中不同基之間的變換，而合同是歐式空間中不同基的度量矩陣之間的變換，由於基決定度量矩陣(度量矩陣是對稱正定的，且任意一組標準正交基的度量矩陣是E)，而度量矩陣唯一決定內積X^TAY=αβ^T)，且正交即內積為0(即⊥)，所以對於正交相似，其實就是乙個矩陣在一組相互垂直的基下的變換。
四優越性
正交相似對角化是對相似對角化的優化和公升級，因為正交相似對角化用的正交變換矩陣是正交矩陣，而正交矩陣的逆即其轉置，所以很容易求正交相似變換矩陣的逆;而相似對角化用的相似變換矩陣只是可逆矩陣，其逆要另求，比如科研工作中，給的A是1000階，求相似變換矩陣P的逆，難度可想而知，所以正交相似對角化要優於相似對角化。
五相關結論
實對稱矩陣，正交矩陣等都屬於正規矩陣的範疇，而正規矩陣必可酉對角化，所以實對稱矩陣，正交矩陣，必可對角化，且必可正交相似對角化。
六目的無論合同，對角化，還是正交相似對角化，目的都是為了把原來不好研究的矩陣A化為對角矩陣形式，而對角矩陣的運算和數的運算保持一致，所以用研究對角矩陣代替研究原來的矩陣就方便了很多。這種思想和泰勒變換，傅利葉變換本質是一樣的，比如泰勒展開就是因為原f(x)不好直接研究其收斂性，連續性，可微性，可積性等分析性質，所以將其轉化為泰勒展開式的形式，以便於研究其分析性質，缺點是泰勒展開是在Xo點附近展開等號才成立，所以泰勒展開是區域性的性質，而且必須要求f(x)n階可導，這就導致了泰勒變換的侷限性。所以我們又給出了更好的傅利葉級數展開，不再要求區域性附近和n階可導，所以傅利葉變換要遠遠優於泰勒變換，但它們的目的都是一樣的，就是用新形式的函式代替原來不好直接研究的函式，以方便研究其性質。
七例題如圖
7樓：冰河
簡單來說，相似就是乙個矩陣在不同基下的變換（同一空間）。而合同就是這個矩陣在一組相互垂直的基下的變換。所以，合同是相似的一種特殊情況。
8樓：永坑道長
矩陣的等價（只有秩相同），合同（秩和正負慣性指數相同），相似（秩，正負慣性指數，特徵值均相同）是矩陣親密關係的一步步深化。（如果所提到的這些矩陣引數都存在的話）
9樓：臭臭
A,B均為n階方陣，若存在可逆矩陣P,使B=P*(-1)AP,則A,B相似。
A,B均為n階矩陣，若存在可逆矩陣P,使B=P(T)AP,則A,B合同。
當且僅當P為正交矩陣即P*(-1)=P(T)，才有矩陣相似與合同等價。
但是A,B合同，可以直接推出A,B等價。
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