1樓：蜂考
方向導數本質上研究的是函式在某點處沿某特定方向上的變化率問題，梯度反映的是空間變數變化趨勢的最大值和方向，梯度是方向導數變化最大的方向。高等數學中有關方向導數與梯度有著重要的運用。
梯度與方向導數是有本質區別的，梯度其實是乙個向量。
定義為：乙個函式對於其自變數分別求偏導數，這些偏導數所組成的向量就是函式的梯度。
方向導數的本質是數值，乙個標量值。
簡單定義為：乙個函式沿指定方向的變化率。
所以方向導數也不是都存在的，它需要函式滿足在某點處可微。
其物理意義，常採用下山圖來表示。
將圖看作是一座山的模型，我們處於山上某一點，需要走到山下。理論上，這座山的表面是能過通過乙個函式進行描述的，這個函式在不同的方向上都可以確定出乙個方向導數，就相當於如果我們想下山，道路並不是唯一的，而是可以沿任何方向移動。區別在於不同的方向導致下山的速度不同，速度的值就是方向導數的直觀理解。
梯度與方向導數的關係
函式在一點的梯度是個向量，它的方向是函式在這點的方向導數取得最大值的方向，它的模就等於方向導數的最大值。
2樓：貓和老鼠夾
我從代數的角度來做乙個論述：
為了簡潔，下文的曲線及函式均在兩維歐幾里得空間下，多維的情況是類似的，讀者可自行拓展。
我們知道曲線的方程可以寫成：
而梯度的定義如下：
我們很容易注意到，梯度操作實際上是乙個對映：
將乙個兩維歐幾里得空間中的點集對映到另乙個兩維歐幾里得空間中的點集。
這就是梯度的本質了。
我舉個具體一點的例子，考慮下面的曲線方程：
它的梯度操作為：
那麼什麼是方向導數呢？
通過上文的論述，我們已經知道梯度操作作用於乙個二元函式得到的結果也是兩維歐幾里得空間中的點，學過線性代數的朋友應該知道，這個所謂的點實際上是乙個向量，而其具體表示(a,b)是其展開成兩維歐幾里得空間標準正交基向量的係數。
而方向導數呢，實際上就是梯度在某個向量上的投影了，這個方向可以是某個標準基向量，也可以是任意乙個標準基向量線性組合產生的向量，或者說是兩維歐幾里得空間中的任意乙個方向，只要將梯度向量與該方向做點乘即可得到。
3樓：全領域小白
我個人比較習慣把東西串起來理解，所以我就按自己的理解做出乙個解釋。
首先思路是：
導數—偏導數—方向導數—梯度
導數大家都學過，就一元函式講，指的是函式影象上某一點的切線的斜率或者稱變化率。
那推廣到二元以及二元以上的函式呢？
導數就可以分解為兩部分，乙個是偏導數，乙個是方向導數。
以二元函式為例。
二元函式一般表示為三維空間的曲面，我們套用一元函式切線斜率的概念，尋找二元函式影象上某一點的切線，我們發現我們找到了無數條，準確的說我們找到了乙個切平面，那我們將得到無數個斜率。（一般情況）
那咋分配呢？
大家應該知道了，分為偏導數與方向導數。
偏導數反映的是函式沿著座標軸的變化率，比如fx與fy就是分別沿著x軸與y軸的變化率。
那剩下的沿著任意方向的變化率都稱為方向導數。
在函式可微的條件下，方向導數可以囊括偏導數，也就是說偏導數可以表示為二元函式沿著x軸和y軸的方向導數。
為啥條件必須是可微呢？因為方向導數存在的時候，偏導數可能不存在。
然後梯度就是方向導數中值最大的那個。
那就是切線斜率最大的那個。
也就是變化率最大的那個。
也就是函式增長最快的方向。（反方向就下降最快）
那梯度的公式咋來的？
附上乙個比較簡單的推導公式。
方向導數的公式fxcosA+fycosB
(cosA,cosB)任意方向單位向量。
梯度不是最大的方向導數嗎，我們現在的問題就是求方向導數的最大值。
方向導數公式可調整為：
(fxi，fyj)（cosA，cosB）i，j是座標軸單位向量。
變為兩個向量的點積。
再演化為|(fxi，fyj)|cosC ，角C是上面兩個向量的夾角。
那顯而易見最大的方向導數值為|(fxi，fyj)|
這樣也就得到了梯度的方向與值。
手機編寫，公式可能不美觀，望諒解
4樓：TAKO
首先梯度是乙個列向量，每乙個元素是乙個偏導數，可以看做是n維空間的在不同方向的基向量，梯度方向在某一點的方向是多元函式上公升最快的方向。
找到乙個方向（列向量）之後，我們可以計算多元函式在這個方向上的導數。
方向導數是梯度點乘方向（需要標準化長度使模長為1），是乙個值（基向量的線性組合），大小就是這個方向的導數。
5樓：海納百川
梯度是向量，方向導數是標量，方向導數定義在某個方向向量a上，代表多元函式沿著a的函式值變化情況。
在給定點，方向導數可以寫成梯度和a的點積，此時梯度是乙個常向量，如果方向a與梯度方向一致，即夾角為0，則該方向的方向導數大於其他任意方向，函式值變化率最大。
6樓：open
1.首先說一下二元函式可微的幾何條件。
我們知道，二元函式在P點可微從影象上來說就是函式在P點處存在乙個切平面，切點就是P點。這個切平面在足夠小的鄰域裡可以近似代替P點附近函式的變化。
在一元函式的微分中，我們利用一點處的切線來近似代替函式值，這是一元函式的微分。
這個思路在多元函式微分中依舊不變。不同的是，二元函式存在著無窮多個方向的方向導數，偏導數 和 只是兩個方向比較特殊的方向導數。
在取定乙個方向後，在這個方向上原來的二元函式就變成了乙個一元的函式了。
這時，在這個已取定的方向上，函式在P點的切線就能近似代替這個方向上的函式的變化情況。並且任意乙個方向上都可以這麼做。回到二元函式中，P點處的函式是被切平面所近似的，這個平面不能和各個方向上的切線矛盾，其實這也就是二元函式可微的條件：
所有方向上的切線在同乙個平面中，這個平面就是切平面。
二元函式存在著無窮多個方向的方向導數，一般每個方向上函式的變化情況都各不相同，其中我們把增長最快的那個方向上的增長率叫做梯度，把這個方向稱為梯度的方向。
定義梯度 （是乙個向量）
2.它為什麼是這樣？
藍色平面是函式在P點處的切平面。
在p點附近截一部分切平面
取 OA= ,OB= ,OP= 。
兩個角的正切值就是我們熟知的兩個偏導數了
二元函式 x, y是自變數，z是因變數。因此我們看的是Z值的下降速度。從P點落到xoy平面，很明顯PM是下降最快的方式。PM在XOY上的投影OM就是梯度的方向了。
那OM方向上的函式的變化率就是梯度的大小了！
通過解底面三角形OAB可以得到
代入三角形OMP可以得到
這樣就得到了梯度的模。
通過 與
垂直，就能得到梯度的單位向量。
至此，我們可以得出 。
7樓：乙隻小橘子
前面回答了很多關於幾何直觀的角度解釋方向導數和梯度的，這裡嘗試從定義的角度直接解釋。
這裡解釋一下方向導數：直接從定義去解釋，極限這裡分母是在方向L上變化一段距離，分子是函式f在這段距離上相應的變化，相除就是自變數在方向L上變化一單位，相應的函式的變化量。（模擬一元函式的切線，x變化一單位，相應的函式y的變化量。
只不過函式的切線中，自變數只有一維，只能沿著x軸變化。在上述定義給出的三維空間中，自變數有三個維度，我們可以任意變化x,y,z，這樣的變化就是三維空間中的乙個方向L）
記住，這裡的方向導數可以對三維中間中的任意乙個方向求導數。
接下來給出梯度的定義
從定義來看，梯度就是函式f在點 對各個維度求偏導數組成的向量。（這裡沒什麼難的，我們就是把這樣的向量叫作梯度）
下面這個定理對弄清楚梯度和方向導數的關係有幫助。
這個定理給出的是和定義1不同的，方向導數的另乙個表達。
我們嘗試理解一下這個定理，我們任意給出三維空間中的乙個方向L，那麼我們就可以通過余弦角度給出這個方向L的乙個單位向量。 這個單位向量就可以代表方向L。再根據梯度的定義，那麼這個定理就可以理解為，乙個點 的方向導數就是梯度向量和方向L單位向量的乘積。
寫出來就是
根據向量乘法的幾何直觀
是兩個向量之間的角度， , 是單位向量。
0" eeimg="1"/>時， 的變化是正的，也就是f沿著L的方向是增長的， 時，變化率最大，也就是L的方向和梯度的夾角為0時，（我們之前說過方向導數可以是對三維空間中的任意乙個方向求導數，這裡我們令L的方向就是梯度的方向）f增長的最大，此時f在L上的方向導數取得最大值
時， 的變化是負的，也就是f沿著L的方向是遞減的， 也就是L的方向和梯度的方向相反時（L這個方向是負梯度方向），f遞減的最快，此時f在L上的方向導數取得最小值
根據上述解釋，也印證了我們熟知的那句話：梯度方向是函式增長最快的方向，梯度向量相反的方向是函式下降最快的方向。
8樓：
總結了一下各家答案。
說人話就是梯度是某一點處模最大的方向導數。
數學是對真實物理世界的建模，把它變光滑，連續， 所以人們才說物理好的同學數學一定好，數學好的物理不一定好，因為數學生未必可以從實際生活中把這個模型給提煉出來。一定要找到數學問題對應的物理問題，來輔助理解數學概念，不然會出現很多滑稽的效果。
9樓：jRONI
如果我這麼說：
方向導數運算元就是向量
梯度就是1-形式
它們是對偶向量，方向導數是雙線性對映
如果你只學過高等數學，看到這裡就要瘋了。
希望你能理解到，任何乙個微分流形，包括我們最常見的Euclide空間上面都可以定義標量函式。無論這個標量函式是什麼，都可以被乙個向量場作用於這個函式，對它求方向導數。反過來，也可以有函式的梯度場來對任意向量求方向導數。
詳細的請看我的文章：
善人之資：MP9：重新認識向量場：方向導數、偏導數、梯度
10樓：
我也來給乙個比較民科的理解，幾何角度。
首先導數是函式在某點，函式值對自變數的變化率。對多元函式，自變數的變化可以有方向，方向導數是某方向上的導數，即多元自變數（向量）沿此方向微小變化，對應的函式值變化。梯度是所有方向中最大的方向導數。
多元函式在某點可微，那麼區域性可以當作乙個線性平直空間來看。以二元函式為例(f: R2 -> R1)，該點附近可以看成乙個與點相切的傾斜平面，即切平面，平面由該點和該點在兩個方向上的傾斜度確定（即兩個偏導fx(a,b), fy(a,b)）。
前面提到方向導數是某方向上的函式值變化率，現在可以看成在切平面上從切點開始，每個方向的斜率。我們把所有方向表示為在x,y平面以(a,b)點為圓心，半徑為1的單位圓，往z軸延伸單位圓得到乙個單位圓柱，圓柱與切平面相交出乙個橢圓，這個橢圓上的點對應的z值與切點z值的差就是方向導數的大小(因為是單位半徑的圓柱切出的橢圓），此方向為橢圓上點的座標(x,y)，橢圓最高點或長軸即梯度。
舉個例子 f = (x+3) ^2 + 8y，考慮(0,0)點的情況，該點偏導為（6，8）
切平面方程: z = 6x + 8y
單位圓柱方程：x^2 + y^2 = 1
可以用拉格朗日乘子法，求橢圓最高處，得出梯度方向為（3/5,4/5），梯度大小為 z=6x+8y = 10
什麼是相位？如何更加形象直觀地理解相位？
若乙個波有週期性，即以某個週期T沿時間軸傳播，波其實就是某個固定形狀的重複，這個形狀可以稱為波的基本迴圈單元，簡稱基元。波在傳播中某時刻的位置處於乙個整基元中的位置 狀態 就是它此時的相位，而初相就是波在初始時刻處於乙個基元的哪個位置，這樣的話，波的傳播過程，就它從它開始的位置開始，不斷地隨時間變化...
如何直觀地理解Sublattice symmetry和Particle hole symmetry？
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