1樓：Locietta
高讚提到了Abel變換是分部積分的離散版本，不過第一眼看上去可能不太明顯，我當時學到Abel變換的時候完全沒看出來和分部積分有個啥關係嘛（菜），這裡簡單寫一下作為筆記啦。
當然我們也可以把它寫成：
它就是簡單的微分法則 兩邊做一次定積分的結果
那麼離散情形下有沒有上述微分法則的類似物呢？
答案當然是有啦。當然在離散情形下就沒有微分了，不過不要慌，我們有差分。
和微分的符號 對應的，差分的符號是，定義為 ，相當於離散的微分（如果微分是無限接近的兩點，那麼差分就是相距1的兩點，沒辦法，離散情況下不能更接近了嘛）
現在讓我們來折騰一下 看看有沒有什麼有趣的結果：
很好，現在我們有乙個和 形式很像的「差分法則」：
嗯...有什麼用呢？
回顧一下，分部積分公式是我們把微分法則兩邊積分得到的，那...
...要不我們求和一下看看？
嗯，有點意思，我們已經很接近了
現在只要把 變為 代到上邊的式子裡，就有
awa這不就是Abel變換嘛！！！
總結：微分法則 有離散形式的類似物
仿照對微分法則積分得到分部積分公式，對離散形式作求和我們就得到了Abel求和公式（Abel分部求和）
注：1. 這裡的差分指的是前向差分
2. 我更喜歡這個形式的Abel公式（從m到n求和）
因為這形式和分部積分的聯絡更明顯，比較好記
3. 我把叫做Abel變換的差分形式，記不住Abel變換公式的時候，記它也挺不錯（就是記性差（死））
4. 突然發現這好像是我的知乎首答誒\(////)\
2樓：sen
寫出幾項來, 阿貝爾恒等式就沒那麼神秘了，只是乙個簡單的恒等變形：
設,用 來表示數列 的部分和, 即
於是 可寫成
總結起來就是"用部分和數列取代原數列". 而這個想法在中學數學和大學數學中也經常出現，例如下面這個高中數學題：
設 , 設 均為實數且滿足 和 .
求證 .
把問題中的 轉化成它的部分和數列 即可. 我們斷言對於任意的 , 都有 . 原因如下: 因為 , 所以 , 於是
即 .把所要估計的式子寫成 的形式：
這裡用到了條件 . 然後利用每乙個 , 上式
.再來看乙個大學數學中的例子：設無窮級數 收斂, 求證
設 為數列 的部分和數列, 則題目條件就是說數列 收斂, 設 . 把要估計的式子改寫成 .
而 , 所以上面式子的極限是 .
總結一下, 我們既可以把這兩個例子理解為「應用阿貝爾求和公式」，也可以理解為使用了「用部分和數列取代原數列」的想法.
3樓：殘風暗影
大佬回答完證明過程了，，不過既然問題裡著重強調了「直觀理解」，那幾何直觀的話我來拋磚引玉好了（可能大佬從代數式上就已經覺得很直觀了2333）
阿貝爾變換裡的 和 感覺上地位是有一點不同的，畢竟變換完之後 是做了個差分，而 卻做了求和。為什麼不先處理一下原式，讓它看上去「更對稱」一點呢？基於這種模糊的想法，我接下來會把題幹原式裡的記成，那麼原式裡的就變成了 （為什麼選擇處理 而非 ？
可能是因為在幾何上面積更好看出來也好畫吧。）
原式就變成了
之後就是小學生也能看得懂的「階梯形狀」的割補法了。
（好吧，，，我的圖里a和b還是和題主給的標反了→_→大家能明白意思就好）
4樓：予一人
Abel變換，又稱為Abel分部求和（summation by parts），相當於分部積分的離散版本。它的證明比較容易，可以按如下步驟進行：
如何直觀地理解傅利葉變換中的時間 相位 負頻率等概念？
天涯明月夜 看到這個問題，我想起了以前上學時疑惑過的問題。傅利葉級數假定目標函式為週期函式。傅利葉變換假定已知函式隨時間變化的規律。那麼問題來了，這不是相當於用以後的資訊來給出當前事物的狀態嗎？違反因果律啊！後來同學解釋說可以這麼理解，用以後的資訊來分析當前發生的事物的狀態，對了，沒問題。不對，也沒...
如何直觀地理解Sublattice symmetry和Particle hole symmetry？
拋磚引玉，sublattice比如說石墨烯的，P H比如說各種half filling系統，超導之類的。反正只要是對稱性就行，然後一維的系統的拓撲是根據這種對稱性算符的表示來分類的 一維只有SPT 所以就是這麼影響的吧2333 匿了匿了，對這種問題不知道如何下筆 回到SPT來，那麼對稱性是怎麼影響這...
如何直觀地理解 Spence Mirrlees Single crossing condition
垃圾 sleepsoft 講到了任何形式的single crossing 基本上都是為了保證解的某種性質而要求的，Richard Xu 則具體講了一些性質和應用。講的非常好而且基本上把能講的都講了，我再隨便逼逼兩句。In most cases,some variation of single cro...