1樓：mcxzx
實對稱矩陣（對稱，即 (這裡對2指標的圓括號代表取對稱部分)）對實空間的變換不一定是關於原點對稱的變換，比如偽轉動矩陣（不含空間轉動的洛倫茲變換而且行列式絕對值也為1）（不如結合著厄公尺矩陣看，即將會講到）
但是如果要求它同時是正交陣，那麼它的確就會對應某幾個軸的反射。但一般而言，並不。
而酉矩陣的確就是正交陣在復向量空間上的推廣，根據定義： ，可知其保復向量的內積（ ）：
（ 是單位矩陣的分量）
相應地，正交矩陣也保其表示空間上的內積。不僅如此，我們還可以把酉矩陣分解為一堆行/列向量：如果我們把 看作是第μ個分量指標為ρ的向量，記作 ，那麼我們再次回到它的定義式：
，用我們的新看法，那麼
也就是說，把酉矩陣分解為分解為一堆向量後，我們可以看到這些向量組成了復向量空間的一組正交歸一基，其幾何意義就十分明顯了：乙個酉矩陣 相當於就是將原來 對應的一組正交歸一基作為新的基底時分量的變換矩陣（被動觀點），或理解為對全復向量空間做了乙個旋轉或反射這種能保內積的變換（主動觀點）。至於為什麼我可以斷定它就是對應的旋轉變換，那是因為你可以通過以下的實線性替代：
, 將復矩陣轉化為實矩陣，不難驗證它們仍然符合複數運算法則，而且對這些替代矩陣的轉置剛好對應對複數的共軛： ，因此對復矩陣的厄公尺共軛（共軛轉置）對應的新實矩陣剛好就是原復矩陣對應的實矩陣的轉置。（此處不使用具體指標，並令 為該替換的符號）因此酉矩陣 就可轉化為 ，因此 必定是該實空間下的正交矩陣對應旋轉或反射。
至於厄公尺(自伴)矩陣： ，它的幾何意義可以從它的特徵向量匯出：
根據譜定理，厄公尺矩陣 的特徵值 一定為實數，且其的全體特徵子空間中一定存在正交歸一基（ ，且 ）。我們可以通過選擇變換 到這組正交歸一基底 (這個 因為正交歸一所以是酉矩陣)，此時 ，而我們可以根據特徵向量的性質繼續化簡： ，可以看到，它的新基底分量就是乙個以特徵值排列的對角矩陣。
而對角矩陣的幾何意義則十分明顯了：
對角矩陣就是對一些相互正交的方向進行大小不同的拉伸及反射的矩陣。因此任意的厄公尺矩陣都是如此的作用。
我們還可以從它對特徵向量的作用看出一點端倪：如果有2個互相正交的特徵向量，那麼它們被該厄公尺矩陣作用後仍然保持正交（證明太顯然了，寫了像在水一樣）
而範圍最大的正規矩陣，和前者厄公尺矩陣十分相似，其特徵子空間仍然具有正交歸一基，可以被酉矩陣對角化（變換到該基底），不同在於它的特徵值不一定為實數，因此它對這些相互正交的方向進行的變換就不止拉伸或反射，還可能帶有對該（復）方向的（復）「旋轉」。而這個「旋轉」就導致了它可以成為酉矩陣，通過被酉矩陣夾心來變換基底（還可以看成是變換該矩陣自身的基底）從而把該單單乙個復方向的旋轉「旋轉」到成為任意方向的旋轉。
完結撒花
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