1樓：「已登出」
推薦一本書，裡面有關於保角變換在電磁學問題中的應用的很完整的論述The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism J. H. JEANS, M.
A., F. R.
S.還有一本Dictionary of Conformal Representations H.KOBER收錄了各種保角變換可供查閱。
這玩意基本可以解決所有二維的問題了，在流體力學等方面好像也有很多應用，，不過對模型比較熟悉的話這種一般可以直接看出來，有點炮轟蚊子的感覺，但學了總沒壞處吧，至少可以給你多一種解題思路。
2樓：雨么
原競賽生表示這玩意純粹是學著好玩，要是覺得學有餘力就學，沒有餘力還不如老老實實刷題（
當然從如今的情況看一天到晚刷以前做過不知道多少遍的題目也沒啥意思，覺得有趣的話就學吧，對於大學的學習很有好處的
3樓：孫鵬.eduzhixin
哭::>_<::。
我立flag： 保角變換中國的物理競賽CPhO 不會考……除此之外還有 Goos–Hnchen effect我們講這個純粹是「好玩」「有趣」
4樓：HM Zhao
JasonZHM：利用保角變換解決一類平面靜電場問題解析/全純函式是復變函式中的乙個基本概念，它指的是復平面上處處可微的一類復變函式。
解析函式需要滿足柯西-黎曼條件。簡單地說（無視嚴謹性），復平面上可微，就是說極限 要存在，其中 ， 。
把 和 代入，將分子湊出因子 之後，即可得到柯西-黎曼條件： 。
這個條件很有意思，他實際上說明了 都滿足拉普拉斯方程，以 為例： 。
因此，我們便可以將電勢作為其中的乙個，比如 。
找乙個性質比較好的對映 ，把原復平面上的點 對映至乙個新的點 。
此時原復平面上的邊界及電勢 也會對映到新的邊界和電勢 。
如果我們使新的邊界條件與原邊界條件相同，由於電勢均滿足拉普拉斯方程，於是就會有 。
若選取合適的對映 ，將原來複雜的邊界對映到簡單邊界，在新復平面中解出電勢 ，再回到原復平面中，即可得到原來待求解的電勢 。
這就是保角變換解決平面靜電學問題的基本思路。
值得注意的是，對於一般的三維問題，只要其具有某一方向上的平移對稱性，即可轉化為平面問題。
用 刻畫變換前後長度的變化，
則變換前後的電場滿足 。
電荷量不變，線電荷密度由於線方向垂直於紙面，故不發生改變，面電荷密度則有 。
電容 不變。
我們可以先從一些常見的函式入手：
冪函式
複數 ，經過變換得到 。
考察這樣的一類邊界：
角邊界經過變換後， 僅伸縮不旋轉， 伸縮後輻角變為 。
如果我們選取 ，那麼角就會被拉平。
如果原平面 角處有一線電荷密度為 的均勻帶電長直導線，我們想要求解電勢、電場分布以及導線受力，原本需要暴算無限發散電像法，現在就可以應用保角變換 ，使得問題轉化為：
把角拉平
接下來只需要在平面下方作出對稱的乙個電像即可解得 ，於是就得到 ，問題解決。
對數函式
複數 ，經過變換得到 ，即橫座標變為 ，縱座標變為 。
考察這樣的一類邊界，我們想要求解其電容：
不平行極板
經過變換後，變為間距 ，板寬 的兩平行極板，問題一下子就簡單了很多，解決後再變換回來即可。
指數函式 則恰恰相反，把帶狀區域對映為角型區域。
反演對映
考察復平面上的乙個圓及其內部 ，經過變換得到 ，於是 ，即直線 及其右側。
該變換可以將圓邊界變換為直線邊界。
讀者可以通過藉此證明球面電像法小試牛刀。
反演變換的推廣是分式型變換 。
三角函式
變換後 ，所以有 ，此為雙曲座標系的標準形式 。
故當 ，即原邊界為一水平直線時，新邊界為一橢圓；
當 時，新邊界為雙曲線。
因此，可以用(反)三角函式實現直線、橢圓、雙曲線之間的互換。
復合
通過上述幾種基本的保角變換，可以通過連續的多次變換處理更為複雜的邊界。
如果有什麼邊界是一次保角變換簡化不了的，那就做兩次。
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