1樓：Pilot John吳
事實上不一定非要正交變換，相合變換也是可以的。
原因：二次型實際上是雙線性函式在兩個自變數取相同的值時的情形，則在使用座標變換來求標準型時，雙線性函式中的座標變換體現為相合變換
2樓：周于於於於
寫乙個考研數二範圍內的回答：（超出的我都不知道）
前提條件：實對稱矩陣 A（考研中：二次型的矩陣都是實對稱陣）
① 原二次型（二次型矩陣為 A） 經過座標變換x=Cy，化為標準型，標準型矩陣為 ∧
此處的變換矩陣 C，可以為正交矩陣，也可以不為正交矩陣
→ C 為正交陣的情況，化為標準型的正交變換法題型中都是例子（考得多）
→ C 不為正交陣的情況，化為標準型的配方法題型中有很多例子（考得不那麼多）
②「為什麼還要把特徵向量正交化和單位化找正交矩陣呢？」
為什麼用特徵值、特徵向量求：
因為，二次型經過任意的座標變換後，會產生 C^T·A·C
正好可以通過 正交矩陣來做相似對角化 與 相似 聯絡起來（即，轉置與逆矩陣聯絡起來）
從而可以和特徵值、特徵向量聯絡起來
如果由特徵向量組成的矩陣 C，沒有做正交化、單位化，沒有化為正交矩陣：
只能說 C^(-1)·A·C = ∧
不能轉化為 C^T·A·C = ∧
即：不能說明 由特徵向量所組成的 C 能夠使原二次型化為標準型
（就是說不化為正交矩陣，就不能用正交變換法）
③補充：實對稱陣 A 的相似對角化
可以用正交矩陣Q 使 A 化為對角陣，有 Q^T·A·Q = ∧
但也可以不用正交矩陣，只是可逆陣 P，使 A 相似對角化，不能有 P^T·A·P = ∧
所以，當有 C^(-1)·A·C = ∧ 時，不能說 C 一定是正交矩陣
李永樂老師講「二次型與特徵值、特徵向量的聯絡」時提到的：
用正交變換來化標準型的解題方法的前提條件：在做座標變換時，假設用正交變換
（不是原話，我理解的大概意思）
真題中：
採用正交變換法的題目中，會明確提出「用正交變換化...為標準型」
《李正元 · 數二複習全書》
「題目不指定用正交變換時，一般都可用配方法」
（不指定用正交變換，即使用普通的座標變換）
3樓：DJ杜
題主是不是沒有意識到
二次型的矩陣和對應二次型的矩陣不一定相同，前者一定是對稱矩陣，後者不全是。同理，標準形的矩陣和對應標準型的矩陣不一定相等，就是說只有經過正交變換之後的矩陣才是標準形的矩陣。
4樓：冬天
題主這裡有種錯誤認識。
假設A為實對稱矩陣，
依據相似對角後的確可以得到變換矩陣P和對角矩陣，但這個對角陣並不是我們二次型標準化所要求的對角陣，即二次型的平方項的係數。
唯有當該變換矩陣P恰好為正交矩陣時候，有P轉置等於P逆。此時剛好可以將二次型標準化。這裡要看下二次型標準化的過程，
我們的目的是將A對角化，代入線性變換x=Py，得到y'(P'AP)y。
當P'AP等於對角陣時候，二次型就變成標準型的了，平方項的係數為該對角陣的對角元，而非相似對角化得出的對角陣對角元。
問題是什麼時候P'AP是對角陣，就是當P是正交矩陣時候，此時P轉置等於P逆，就可以用最上面的公式相似對角化得出對角陣。
其實還要注意二次型的A一定是對稱矩陣，這個對稱能給我們帶來很多資訊……
5樓：jelly
(此處為引用鏈結)
為了正式答案邏輯的連貫性我簡單複述一下。已經懂了的可以跳過。
⑴可逆矩陣定義：PA=∧(P是可逆矩陣)
合同定義：CB=∧(C是可逆矩陣)
(∧裡都是特徵值;∧不全是特徵值，只是主對角線之和＝特徵值之和)⑵正交變換法就是使通過特徵值算出特徵向量集合的可逆矩陣P，通過正交化改造成滿足條件 「P=C」的P矩陣 (即P=C)，從而可以達到合同「PB=∧」的要求。
針對題主提出的問題的回答：
對角化是為了使可逆矩陣P具有正交性，而而單位化是為了滿足對角線上係數均為1(即E的要求)。正交化和單位化處理後的矩陣P已經滿足正交化條件(PP=E)，然後就能可以使得 P=C。
注：正交化變換得到的∧=∧(即均為特徵值)，配方法則不一定。
6樓：縫天針
首先，二次型的等價關係可以由矩陣的合同關係來轉化，實數域上的二次型的矩陣是乙個實對稱矩陣，而實對稱矩陣一定是合同與乙個對角矩陣的（要求矩陣特徵不為二，這是最準確的表述，但實際上也用不著）。
但是貌似並沒有給出合同對角化的方法，那有什麼方法可以對角化，同時能與合同關係聯絡起來呢？那就是正交相似。乙個正交相似的矩陣既能讓矩陣對角化，恰好能構成乙個合同關係。
於是關於正交的問題就解決了。
接下來拓展一下標準二次型為何要涉及到單位化。
二次型可以看做是二維平面上曲線，而二次型的等價關係本質上就是看曲線的性質一不一樣，比如乙個橢圓，左右旋轉還是乙個橢圓，拉伸或是收縮後還是橢圓，巧一點的會變成乙個圓，但不管拉伸還是旋轉都不改變它們的本質：橢圓（圓也是橢圓，只不過兩個焦點重合為乙個圓心）。這就是二次型的等價關係。
那什麼樣的曲線是最簡單的？當然是關於y軸或x軸對稱的最簡單。但是一般的二次型所對應的平面曲線往往不合人意，否則考試也就沒意思了。
那怎樣把二次型轉化為我們所期望看到的樣子呢？於是可以聯想到正交變換，正交變換是保持度量不變的線性變換，也就是說如果你對乙個向量進行正交變換，那麼只會改變它的位置和方向，而不會改變它的長度，如果是對一組向量進行正交變換，那麼它們的相對位置上的任何關於度量的性質都是不會改變的（前提是同一組基）。於是我們可以對原來的座標系進行乙個正交變換，使問題變得容易處理。
而線性變換是在一組基上做變換，正交變換同樣如此，於是可以在原座標系選擇一組標準正交基作為基，而我們想要得到的新的座標系，就可以通過原座標系上的基對新座標系上的基進行乙個過渡，而過渡後保持度量不變的必要條件就是所選取的新座標系上的基也一定是標準正交基。如果假設原座標系的基是單位向量所組成，那麼原座標系的標準正交基到新座標系的標準正交基的過渡矩陣不正好就是新座標系的標準正交基本身嗎？那這個過渡矩陣不就是標準化的正交矩陣嗎？
而這個過渡矩陣的列向量其實就是最初那個二次型矩陣的正交的特徵向量進行單位化後的結果。這也就解釋了為何二次型標準化需要對正交矩陣單位化。
（前面沒有提到標準化的本質是什麼，現在補充一下，標準化其實就是找到這樣乙個能夠使得二次曲線關於y軸或x軸對稱的新座標系的過程，在新的座標系下也就是標準化後，二次型所對應的曲線型別一目了然，因為去掉了交叉項的干擾，只留下了平方項）
我自我感覺描述的過程過於抽象，但這正是對本質的提煉，這可以作為學習高等代數或者線性代數的一種思路。當你學完上述所提及各個知識點後，仍然感覺混亂的話再來看這篇文章或許就會對代數的知識體系有一定理解了。希望這篇文章對你有幫助！
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