1樓：
這個題在實數上考慮其實有點無聊...
如果要對稱那麼就要是這個形式
那只有當 階時才可以定解...
在複數上考慮就有趣了
考慮多項式
它的對稱性體現在哪呢? 什麼叫 ?
很簡單,放到複數域上看
當然復函式的圖形是個二維復流形, 這只是它穿過 空間時的截面.
常數項不改變性狀
高次項的影響表現在交換分支
當然考察下函式是怎麼穿過實空間的也比較有趣.
作為對比,二次函式的截面是這樣的
2樓：
你這裡對稱的定義就這麼狹隘，只有映象對稱，那這個結果是顯然的嘛。懶得像其他答主一樣花時間，直觀一點，我們就考慮worst condition，n次函式有n-1個轉折點，任取這n-1個在定義域上不重疊的點，都存在乙個n次函式剛好在它們上面轉折。顯然的兩個點必然存在對稱平面，三個任意點怎麼都不可能。
轉折點都不對稱了，函式怎麼可能對稱。這跟實數虛數沒關係，你拓展到四元數也是這個結果。
3樓：龍陽桑
關於一二三次函式為什麼平移後總是可以對稱並不難。
一次函式 y＝ax＋b 只要沿著y軸向下移動b個單位就是關於原點對稱的圖形，即f(x)＝ax
二次函式 y＝ax＋bx＋c 只要a≠0 我們總能把這個式子配方，得到f(x)＝a(x＋m)＋n
然後分別平移可得f(x)＝ax 關於x軸對稱圖形
三次函式 y＝ax＋bx＋cx＋d 當a≠0時，總可以把這個式子變形成為乙個如下形式
f(x)＝a(X＋mX＋p) 沿著y軸平移後總可以得到
f(x)＝ax＋bx這顯然是乙個奇函式，故關於原點對稱。
四次函式，不一定對稱。 任意乙個四次函式都可以變成這樣的形式
f(x)＝a((x＋b)＋c)－d(x＋e)
顯然，只有當b＝e的時候，原函式才能通過平移得到乙個偶函式。才能關於y軸對稱。
4樓：王小龍
這個問題用高中知識可以解決，只需要利用對稱函式的定義。
乙個函式 如果關於y軸對稱，那麼 ，如果關於原點中心對稱，那麼 。如果函式對稱，但不是關於原點中心對稱或者關於y軸對稱，咱們可以重新設定座標原點，或者把函式左右平移和上下平移使得它關於原點中心對稱或者關於y軸對稱，也就是做變換 ，把 帶入上面的兩個定義，整理一下，得到函式 關於某一點：
軸對稱則
中心對稱則
首先可以看出，最高端項的次數是奇數的多項式只可能中心對稱，是偶數的多項式只可能軸對稱，因為隨著自變數增大，
而 當n是奇數時是中心對稱的，當n是偶數是是軸對稱的。
下面咱們來看任意乙個三次方程：
可以通過對自變數做乙個放縮把最高次項的係數變成1，所以我們忽略了最高次項的係數。上面已經解釋了，這個函式只可能是中心對稱，把它帶入中心對稱的定義裡得到：
二者相加,，合併同類項，得到：
這個式子必須對任意 恒為0，它是二次的，但是由於一次項為0，所以只有二次項和0次項非0。有兩個未知數 和 待確定。令二次項為0，得到 ，再令 等於0次項，就恰好符合條件。
所以，任意三次方程是中心對稱的。
一般地，假如 是 次多項式，那麼它只可能中心對稱，展開
只有偶次數項，還剩下 個方程，而咱們調整的引數只有 和 兩個，所以當 1" eeimg="1"/>時 沒有恒為0的通解，所以 就是最高次的恆中心對稱的多項式次數。
假如 是 次多項式，那麼它只可能軸對稱，展開
只有奇次數項，仍然剩下 個方程，而由前面的定義，可以調整的引數只有 乙個，所以當 時有通解，所以 就是最高次的恆軸對稱的多項式次數。
5樓：
對稱有乙個充要條件是對稱的每兩個點的每一階導數(1,2,3....)相等或者相反。比較準確的說法是：
1、對於中心對稱，所有奇數階導數相同，偶數階導數相反。
2、對於軸對稱，所有奇數階導數相反，偶數階導數相同。
一次方程每個點任何一階導數都恆定，二階以上都為0.滿足條件1，所以關於自己上面的任何點都中心對稱。
二次函式f(x) = a x^2 + b x + c 三階並以上的任何導數都為0，一階導數為2ax+b，所以關於-b/2a對稱的每兩個點的一階導數相反，二階導數都是恆定值2a，所以滿足條件2。
類似的，對於三次函式f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d如果有兩個極值點的話，關於這兩個極值點對稱；如果只有乙個導數為0的點，則關於這個點對稱。因為只有這兩個點一階導為零，無論是滿足條件1還是條件2，都只能是這兩個點互為對稱點(如果只有乙個導數為0的點，則這個點為中心對稱點)。
，所以它的兩個根滿足. 注意到, 由於，所以兩個極值點的二階導數相反。現在證明下三次函式
關於 中心對稱：
a. 三階導數恆定，三階以上導數為0，滿足條件2.
b. 由於關於 軸對稱，說明關於 中心對稱的兩個點的一階導數相同，滿足條件2.
c. 關於 中心對稱, 說明關於 中心對稱的兩個點的二階導數相反，滿足條件2.
以上說明有兩個極值點關於 中心對稱。類似對於只有乙個導數為0的點的情況就是把合併成乙個點，計算過程完全相同。所以三階函式是中心對稱的。
但關於四階函式有，二階,三階。注意到：
a. 四階函式只能是軸對稱(正負無窮都趨於正無窮)。而無論它有乙個或者三個極值點，都需要滿足對稱軸經過中間的那個極值點(為了滿足一階導數相反，所以導數為0的點只能跟導數為0的點對稱)。
b. 但對稱點三階導數要相反的話，必須關於即對稱.
顯然要同時滿足條件a，b的話只能是方程中間的極值點，即, 但顯然這不一定滿足，所以四階方程不一定對稱。
總的來說，高階函式所需要滿足的條件在不斷的增多(低階函式的高次導數都為0滿足了條件)，使得要對稱更加的苛刻。所以三次並三次一下的函式滿足對稱，而三次以上就非常困難。
多謝 Phenomene Bizarre指出錯誤。
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