1樓：
共軛是一種特殊的二元對稱關係，如果兩個同類或者具有同等性質的物件或元素可以通過一種操作或者同類操作可以同時來回變換，就稱它們具有共軛關係。對偶不是一種操作或同類操作可以轉換的，也不是同時來回變換的，也不必用在同一種物件之間（如射影幾何中的點和線）。
共軛是一種代數的概念，類似於幾何中的垂直或正交概念，垂直在仿射幾何中的推廣就叫共軛。
2樓：會鍾意
假設 有乙個特定的解，我們稱之為 ，根據定義， 有這種性質： ，這幾乎是我們能對它所講的全部東西。當然，方程 的根不只是這乙個。
有人會寫出 ，但別的人也可能說：「不，我寧願寫 ，我的 是你的 的負值。」實際上這也正是乙個解。
由於 具有的唯一的乙個定義是 ，在我們所能寫出的任何方程中，如果所有 都改變符號，則方程同樣成立[1]。這個過程稱為取共軛複數。
其實，這也導致了復共軛運算可以與很多運算（乘法、冪...）交換順序。下面我舉例說明：
以複數的乘法與共軛運算交換順序為例（以 表示取共軛， 表示複數）：
設 ，已知 為複數，可表示成
即 根據Feynman的說法，在上述方程中，把所有的 都改變符號，方程同樣成立。
即 即Feynman教授在講授複數相關的內容
3樓：凝竹
兩個複數共軛，這個共軛可以簡單理解為兩點是關於實數軸R的schwatz symmetry，互為對方的共軛點。
物理意義可以理解為取f(x,0)=0 的 Dirichlet boundary下的Green's function。比如計算無限大平面的電場分布，就是取映象點。通過holomorphism可以處理比如球面上的對稱問題。
4樓：
放在電路裡很好理解。電路裡面的電流於電壓的相位關係。容性電路的任意時刻的阻抗共軛為感性的，反之也成立，並且在取共軛之後，只會發生相位關係的改變，而阻抗的模不變。
其實實際應用中複數的存在這只是一種簡化計算的方式而已。比如你說某一時刻某節點的電流是是a（t），電壓是b（t），如果用實數R（t）表示兩者幅值之間的關係的時候，它只能表徵某一特定時刻的電流電壓大小的關係。而用複數Z（t）表示的時候，它既可以表示兩者幅值之間的聯絡，也可以表示兩者的時間上的聯絡。
並且在分析計算時，虛部i，可以像常數一樣，求導，積分等等。而且在引入之後，計算的前後結果，與復分析的結果一致。這過程中省去了很多繁瑣的驗證計算。
比如在固體物理中，要想想出傅利葉空間和實際空間的本質聯絡而非特徵聯絡，恐怕是不可能的吧。至於共軛的本質也是，都是屬於宇宙的秘密，或許很難解答了。
5樓：酒靜五
共軛是乙個被用爛了的詞，其意義就是抵消虛數。因為虛指數的運算法則暗示了利用虛指數(比如e^i)通過分析手段，將一切迴圈的運動抵消（傅利葉），另一種更為復合邏輯的方法是構造概念性的共軛零件將運動抵消。所以，數學家們構造了一系列的共軛數學零件，一旦可以用這些零件替代經典的傳統零件，那麼就可以省略大量的，重複的，無意義的積分運算。
6樓：不屈的醬油
我的理解是：兩個東西a和b共軛，則當你把a和b互換時（即a代換為b，同時b代換為a），不影響任何結果；換句話說，a與b在地位上完全相等。例如（i與-i；±根號2）
7樓：阿貝
我覺得共軛的概念和平方是緊密相關的，對於實數，比如2x2等於4，(-2)x(-2)也等於4，為什麼呢？
對於乘法，它有兩個含義，一是改變長度，而是改變方向。比如-2可以這樣理解，它在負半軸，也就是長度是2，角度是180度，(-2)x(-2)可以解讀成長度變成4，角度從180度的位置再旋轉180度，這樣就到了實數軸的正方向。
接下來再看複數，比如2+2i，它的長度是sqrt(8)，平方後的長度我們期望跟實數一樣變成8，這只要乘以任何乙個長度也是sqrt(8)的複數就可以達到。另一方面如何讓它平方後跟實數一樣也落在實數軸的正半軸上呢？因為2+2i在45度的位置，所以只要把它再旋轉-45度就行了，也就是要乘以2-2i，這就是它的共軛。
8樓：
共軛的本質是對稱，
即，你在定義複數的時候，"根號-1"的兩個解的地位是同等的，可互換的即，你把任何數學、物理公式中的i和-i互換，公式依然成立即，複數域的自同構群是二元的，唯一的非平凡的自同構就是取共軛
9樓：jRONI
共軛讓你更爽地使用勾股定理。
三角函式、正交的概念、泛函分析中的正交、投影等抽象概念的幾何化，都建立在勾股定理上：
這個式子的歸一化就是：
這是調和分析的起點，當然是借助複數來研究的。
勾股定理用複數寫為：
令 ，上式就成為：
共軛出現了。歸一化的版本就是讓 ，這樣，偉大的Euler定理 在這裡和勾股定理合體：
這種結構可以發展處辛內積和辛幾何（中學生慎入）：
MP86：辛(symplectic)的起源(1)：三角函式的線性性與Hermite內積
MP87：辛(symplectic)的起源(2)：張量與Hermite內積的旋轉不變數
MP88：辛(symplectic)的起源(3)：辛矩陣
在複數中還可以處理二次結構的差：
勾股定理可以視為乙個向量 和它自身的內積，那麼以上方式就可以把平方差視為復向量 和它自身的內積，顯然，這個復向量的共軛也是成立的：
再講深需要講復微分形式和Dolbeault運算元了，再說吧。
10樓：啦噠滴噠滴
小白提供乙個角度，通常提到複數，我腦子裡會一連串蹦出來這些概念:
模，旋轉，尤拉公式
求乙個複數的模，要把複數和共軛相乘，如果在極座標系下理解，就是乘以乙個共軛複數可以把在複數空間裡的向量拉回到x軸上，也就是實數域內。這就求出來了模。
11樓：曰辰十甫
這個問題很有趣，講一下個人理解。
首先，看這個方程：x^2=-1
顯然，根號裡面必須大於0，
而為了使方程有解，引入複數域概念。
也就是從一維擴充套件到二維。
令得 x=i or x=-i，是一對共軛復根。
以上屬於數學範疇。
也即虛數是人為定義的，是為了完善方程根體系而規定的，沒有任何物理意義！
通俗地講，就是數學家為了研究方便，定義的一套規則。共軛復根必然成對存在，也符合平方差公式。兩個共軛復根相乘就是實數。
數學就是各種規則的集合體，神奇！
其次，非要談物理意義，也不是不可以。
工程數學裡有一門《復變函式》，i在複數域裡表示旋轉因子，單位模是1。
試著想一想：
i 表示從正實軸逆時針旋轉90度，也就是轉到虛軸上；
同理，i*i=-1也就是順時針旋轉180度，是不是旋轉至負實軸了！印證了
以此類推。
i 的物理意義就是相位表示，類似於極座標系有乙個模長乙個角度。只是復平面用兩條軸表示，而極座標系只有一條極軸。
類似地，複數是實數擴充。
其物理意義就是表示了模長與相位問題。
實數就是虛部為0的虛數，其相位為0或pai。
共軛複數的物理意義也僅限於此。
可能你會問，這物理意義跟相位有什麼關係！？
那就要看看著名的尤拉公式了。
數學界的傑作之一！
裡面有i 、e、cosx、sinx，不得不佩服啊！
這不就是複數（a+i·b）的表示形式嗎！
令a=cosx，b=sinx
這樣就形成了單位圓上的旋轉問題。
再從單位圓上推廣，複數可以表示出任意模長、任意相位的虛數。（手機碼字，許多公式比較難表示，題主可以自行問度娘）
我只能再次感嘆，
數學就是各種規則的集合體，神奇！
我也再次強調，共軛複數沒有任何物理意義！
只能放在整個複數域來理解，是人為定義的一種規則！
物理意義也只是結合不同領域各取所需。
12樓：「已登出」
其實語言學中的動詞變位就是conjugation。之所以用這個詞，我猜測，就是為了表達很多不同變形由同乙個動詞變來的意思。
13樓：
共軛就是相關，理解的話放在使用場景下比較好理解，因為不同的場景下有不同的意義。
如果用來表示旋轉（尤拉公式），那麼共軛表示的就是兩個相反方向相同角度的旋轉，如果將旋轉變成時間的函式，就是兩個相位相反的正弦波。。。
14樓：王贇 Maigo
「共軛」是數學中乙個比較有逼格的詞。「軛」是牛拉車用的木頭，同時拉一輛車的兩頭牛，就是「共軛」關係。把這種關係引申到數學中，只要是成對的東西，又找不著乙個更合適的叫法時，就常常稱它們為「共軛」，這個「軛」並不總能找到相應的數學概念。
共軛牛具體到複數裡，「共軛」就是「實部相同，虛部相反」的意思。這個概念本身並沒有什麼高深之處。不過在實際中，具有「實部相同，虛部相反」關係的複數非常常見，比如：
多項式的根中往往有滿足這種關係的根；
乙個複數的模方等於自己乘以跟自己有這種關係的複數。
因為這種關係很常見，所以有給它起個名字的需要；既然這是一種成對的關係，又找不到更好的叫法，就叫「共軛」好了。
你看「實部相反、虛部也相反」也是一種成對的關係，但是它已經有了乙個名字叫「相反數」；「實部相反、虛部相同」也是一種成對的關係，但因為這種關係不常見，所以就沒有名字。
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