1樓：光太郎
因為同構對映的定義就是保運算的一一對映。
幾個區別：
1. 乙個對映的同構性，這裡的 」同構 」是一元一階謂詞。
如果乙個對映滿足（1）是一一對映 （2）同態性（保運算，保單位元等），那麼這個對映是同構對映。
2. 兩個結構的同構關係，這裡的 」同構 」是二元一階謂詞。
如果兩個結構之間存在（至少有乙個）同構對映，那麼這兩個結構之間有同構關係。
3. 同構關係是等價性的，」同構 」是二元一階謂詞，」等價 」是一元二階謂詞。
可證兩個結構之間的同構關係滿足（1）自反性（2）對稱性（3）傳遞性（等價關係的定義），所以同構關係是等價關係。
如果乙個集合上的關係R有等價性，那麼R可以給集合做乙個劃分。我們知道同構關係的等價性後，可以利用同構關係給所有結構做乙個劃分。舉個例子，矩陣相似關係有等價性，根據相似關係可以給所有二階矩陣做乙個分類。
補充：同構：徐明 Fudan Enderton Hodel Vardi 汪芳庭數學基礎同構 - 結構語言內部結構 eachsymbol單個Aevery a A 同構等價關係初等等價- 結構語言外部語言 Th(A) = Th(B) 初等等價關係自同構:
已知任意自同構保eachsymbol，推知任意自同構h保可定義的關係R+every a A 汪芳庭自同構習題等見後文N之不可定義。 wiki partial order set: orderembedding (must be injective) = orderpreserving+orderreflecting orderisomorphism = surjective embedding
f is monotonic=orderpreserving單向=orderhomomorphism單向 antitone=orderreversing單向例子：wiki partial orderh is order-preserving but not order-reflecting;UGApeterGive an example of an order preserving bijection f such that f^-1 is not order preserving, an order-preserving bijection whose domain is atotally orderedset is an order isomorphism
單同態：f單射單向 f嵌入：f單射雙向雙同態：
f雙射單向同構：f雙射雙向 f雙射單向 + f^-1雙射單向poset anti-isomorphism序反同構：f雙射雙向f雙射(單向)antitone + f^-1雙射(單向)antitonehttps:
//encyclopediaofmath.org/
wiki/Well-ordered_set
bookofproofs order embedding: are two posets. An order embedding is an injective function f:
X to Y with the property . The concept of an order embedding is a generalization of a monotonic function from analysis.
proofwiki.org/wiki/Definition:Order_Embedding
2樓：望天衝
嘿嘿，我剛好思考了這個問題。f(xy)=f(x)f(y)的一一對映就是同構啊。這是教材說的。
之所以不好懂，是教材沒有從已知到未知，從熟悉到陌生的引導。直接丟擲個結論了。
一、人和豬的故事
「人」和「豬」，抽象出他們的共同點，推廣定義一種新的包含人和豬的更廣泛意義的物種，就是「動物」。
再抽象推廣一次，加上「樹」，那就是「生物」。
二、四大分配律
a(x+y)=ax+ay，乘法分配律。
現在，函式f(x)=ax
不考慮具體的函式，抽象出來一般的函式，上面的表示式可以寫成
f(x+y)=f(x)+f(y)
從一般的抽象的函式來推導，會有什麼結論？
設z=x+y，消去y可得
f(z)=f(x)+f(z-x)
即f(y-x)=f(y)-f(x)
代數運算，區別於算術運算，它是「類的運算」。
設x=y=0
得f(0)=0
這個函式圖過原點。
設x=y，
f(2x)=2f(x)
歸納法得
f(nx)=nf(x)
f(n)=nf(1)
f(x)=f(1)x
可見，正比例函式f(x)=kx，始終滿足這個等式
f(x+y)=f(x)+f(y)
即a(x+y)=ax+ay，這個應該也可以從乘法的定義「加法的打包」來證明。
還有求導數，積分，也滿足這個對於加法的分配律。它們本身就是除法乘法的一般情況。
可見，f(x+y)=f(x)+f(y)這個性質，範圍比正比函式大，是正比函式的推廣，可以退化成正比函式。
冪函式，指數運算，和對數運算，可以抽象出：
f(xy)=f(x)f(y)，這個是乘方基於乘法的分配律？
f(x+y)=f(x)f(y)和差化積→f(xy)=f(x)^y)積化乘方，指數數函式基於乘法的分配律？
f(xy)=f(x)+f(y)積化和差→f(x^y)=yf(x)(這個應該要限制取值範圍才成立哦)乘方化積，對數函式基於乘法的分配律？
三、四大分配律，再抽象，把運算子(＋,＊)抽象出來，作為空格，就得到了同構的公式了。
參見我的新書《低階群論（the primary mathematical group）》不過，要在美國亞馬遜才可以搜尋到。中國亞馬遜不可以。
3樓：marioj
A、B兩個世界同構，A世界有二元計算*，B世界有二元計算#。
A世界中的x、y在B世界中的像分別為X、Y。
在A世界中進行二元計算x*y，其結果可以借助B世界中的計算來尋覓。
具體尋覓過程分兩步：
1:在B世界裡進行二元計算X#Y得到結果Z。
2:找到Z在A世界的原像z。
由於這兩個世界是同構的，
A世界中的這個z，就是在A世界中苦苦尋覓的二元計算x*y的終極答案。
4樓：
「同構」就是在某個範疇下的一種等價關係，它保持了這個範疇中物件的性質。
不同的範疇有不一樣的同構：比如線性空間的同構是線性雙射，拓撲空間的同構（同胚）是雙連續對映。
5樓：滷蛋
我是直接從定義上來理解的。同構就是同態且一一對應吧。同態又有f(a.
b)=f(a)。f(b)(我我我不會打兩種不同的運算符號。。就拿兩種句號代替吧~)保證了在前者(A)裡進行運算後的結果能和ab在後者(B)中對應元運算後的結果相對應。
也就是說A和B可以看作是同乙個抽象結構的兩種不同表現形式。所以運算其實可以理解成用B進行一次過渡。把A的模型簡化來方便我們運算的同時保證結果還是正確合理的。
我大概就是這樣理解的~
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