1樓：陳童
奇妙的四元數（上） - 陳童的文章 - 知乎 https://zhuanlan /p/152568981
奇妙的四元數（中） - 陳童的文章 - 知乎 https://zhuanlan /p/152569453
奇妙的四元數（下） - 陳童的文章 - 知乎 https://zhuanlan /p/152578978
2樓：SNAKE
Visualizing quaternions, an explorable video series
by 3blue1brown and Ben Eater
3樓：Boots
1.根據英文版的understanding-quaternoins2.翻譯後結合自己的一些理解，寫了一篇部落格3.鏈結https://
blog.csdn.net/boooooots/article/details/87995418?from=singlemessage
4樓：璽哥
這是乙個能演示四元數旋轉的演示，能夠幫助對四元數的形象理解
Visualizing quaternions, an explorable video series
5樓：
如果對三維轉動群有比較深入理解的話，四元數的代數規則完全可以用Pauli矩陣寫出來。而Pauli矩陣無非就是三維轉動群生成元的矩陣表示。知道了四元數表示和生成元的關係，那麼有限轉動自然就能夠通過無窮小轉動得到了，包括跟各種轉動矩陣的關係，應該都可以推到出來
這一部分在量子力學的角動量理論裡有比較深入的闡述
6樓：
上面有些答案回答的很好了。我幾個月前關注了這個問題，現在對四元數有一些了解。我基本是按照這個文件學習的。
在robotics中，我們可以用rotation matrix表示三維旋轉，rotation matrix又可以用:(1)roll,pitch,yaw三個旋轉分量表示,航空界多用這個表示方法(2)也可以用旋轉軸k和旋轉角度theta表示。但是三維旋轉只有三個自由度，用3X3的旋轉矩陣表示是不必要的。
用quaternion 表示旋轉有挺多好處，比如計算速度，而且一些計算公式會異常簡潔。R和q之間也有相互的轉換關係。
7樓：
樓上的一些鏈結非常好，特別是《理解四元數》基礎很詳細，內容超過很多部落格了。
很多人避重就輕只談公式不談為什麼。讓我這種菜鳥對於理解四元數旋轉雲裡霧裡，完全不能對四元數旋轉有個清晰的認識。用了幾天看了四元數的基礎，幾年不碰數學比較吃力，邊看《理解四元數》邊補基礎。
只談談跟人對四元數旋轉的理解，或許對新人理解四元數會有點幫助。當然我並不能確保我的理解是正確的。
三維中p點繞三維向量v旋轉Θ時q=(cos(Θ/2),sin(Θ/2)v)，比如我們需要旋轉90°，這裡卻分成了2個45°。我對這裡的理解是：如果不是特殊情況的話qp結果將是乙個普通的四維數，這沒辦法正確地對映到三維超平面（第四維為0的特殊的四維），因為第四維不為零,結果就不與我們最初的點在同一三維空間。
為了解決這個問題，所以先只旋轉一半，再用逆反過來旋轉另一半，這樣正好將第一次旋轉產生的第四維變為0，這樣就能正確地對映到三維超平面。
第一次旋轉使用右手螺旋，第二次旋轉應該用逆的左手螺旋。保持三維超平面方向一致。
例如：以下格式不特別說明都是（x,y,z,w),w為第四維，與一般常用的（w,x,y,z)格式有點區別，但不影響結果。
p=(1,2,3,0)//需要旋轉的3維點座標為（1，2，3）
q=(a,b,c,d)//旋轉軸
q-1=(-a,-b,-c,d)//q的逆等於q*（這裡是單位四元數:a2+b2+c2+d2=1,q-1=q*/|q|2=q*）
qp =(3b-2c+d,3a-c+2d,2a-b+3d,a+2b+3c)//右手螺旋的正旋轉
pq-1=(3b-2c+d,3a-c+2d,2a-b+3d,-a-2b-3c)//逆的左手螺旋正旋轉？
將pq-1移動到（pq)q-1)
通過qp與pq-1的結果對比我們發現這2個旋轉的結果除了第四維互為相反數，前三維的結果是一樣的。如果只看前三維部分，就是沿著相同的方向轉過了相同的角度，到達相同的位置。加上第四維互為相反數，我們可以大膽猜想一下是否可以通過這樣連續的2次旋轉將不為零的第四維抵消，重回三維超平面（純四維數），即與我們需要旋轉的點同乙個三維空間？
這不就是四元數旋轉公式p′=qpq1嗎，p'第四維就是0。
這也就是我們經常看到的四元數旋轉時，為什麼三維中p點繞三維向量v旋轉Θ時q=(cos(Θ/2),sin(Θ/2)v)（這是常用表示法第四維在前）其中為什麼是Θ/2與2維旋轉(x+y*i)*(cosΘ+sinΘ*i)的Θ不同,因為2維一次旋轉就可以了，四元數卻要連續旋轉2次相同角度來抵消第四維的變化所以就是Θ/2了。
8樓：
不知道這個是否符合題主的要求，我恰巧今天剛剛看完的。
9樓：王飛
我們現在給出乙個著名的除環的例子——四元數除環。
考慮二階方陣的集合
R=，其中表示α的共軛數，顯然，R就是一部分特殊的二階復方陣組成的集合。
由以下的計算結果：
可知R關於矩陣的加法與乘法都是封閉的。從而，我們得到了乙個具有兩個代數運算的代數系統（R
我們的主要目的是證明（R，+，·）是乙個除環，而且不是域。這樣，我們就找到了乙個相當罕見的，純粹除環的例子。
首先，容易看出，（R，+，·）做成乙個環，並且
是它的零元。
其次，為了證明（R，+，·）是除環，還須驗證Ⅱ（b）。設
A=0，
是R任意非零元，於是複數α，β不全為零。如此它的行列式
∣A∣==＞0。
此時將有A可逆並且
A-1=R。
所以對於任意的BR，方程Ax=B和yA=B分別有解
x=A-1B，y=BA-1。
綜上，（R，+，·）做成乙個除環。
為了說明R不是域，只須找出R的兩個相乘而不可交換的元素。不難想到，這樣的例子是很多的。例如，取
A=，B=
就有ABBA。
這個除環R，它的元素還可以表成「四元數」的形式。
事實上，對R中任意乙個二階方陣
A=，令α=a+bi，β=c+di。
則有A==a+b+c+d。
如果令e=，i=，j=，k=，
則有A=ae+bi+cj+dk。
其中a，b，c，d為任意的實數。
這樣就使除環R中的元素表成四個元素
e，i，j，k
的實係數的線性組合。
如此，R=。
進而，又可明確以下幾點：
1）A=ae+bi+cj+dk的表示法是唯一的，即ae+bi+cj+dk=a′e+b′i+c′j+d′k當且僅當a=a′，b=b′，c=c′，d=d′。
2）在這種表示法之下，兩個元素相加就是「同類項」的係數相加。即
（ae+bi+cj+dk）+（a′e+b′i+c′j+d′k）=（a+a′）e+（b+b′）i+（c+c′）j+（d+d′）k。
3）在這種表示法之下，兩個元素相乘就是根據分配律各項一一相乘再合併「同類項」。這裡的e，i，j，k的相乘結果如下：
e·i=i·e=i，e·j=j·e=j，e·k=k·e=k，
i·j=-（j·i）=k，j·k=-（k·j）=i，k·i=-（i·k）=j，
e2=e，i2=j2= k2=-e。
如此，除環R中的元素叫做四元數，因而，R叫做四元數除環。
10樓：DersuUzala
提供一種比較新的視角吧，好像沒看到其他答案寫過.
四元數可以看做「複數的複數」.
相應，複數是「實數的複數」.
先看複數是怎麼樣弄出來的：假設，複數就是，其中，為實數.
現在看四元數：假設，四元數就是，其中，為複數.
接下來看那套四元數奇怪規則.
把四元數里的，寫成，.
我們發現所謂的就是.
幾何上說，就像同胚於，四元數全體同胚於也同胚於.(題主要的形象)這個思路也比較容易想象為什麼可以推廣到八元數而沒有五六七元數.
P.S.還有更高維推廣，但是四元已經犧牲了交換律，八元又犧牲了結合律，反正之後的推廣性質都比較差，有興趣的可以蒐超複數.
11樓：
why 4?
A. 1+3 = 4
B. 2*2 = 4
I think B is more palatable, a rotation as two reflection.
[Representing rotations as 2 reflections](Maths - Rotations as 2 reflections)
12樓：
Yang Eninala說的已經非常好了。
最簡單的想法，就是把四元素當成一種記錄旋轉量的形式，像軸角，旋轉矩陣一樣。
有著很多的優點，方便插值，沒有永珍鎖等等...
這裡有個Quaternion的C++實現，可以參考一下。
用C++實現乙個Quaternion類
13樓：機械人先生
在用四元數時大家有沒有發現關於求導的問題？
設在q0到q1進行Slerp(q0,q1,u)插值，並求出任意插值點qu的導數D1；然後在q0到qu、qu到q1之間分別進行Slerp(q0,qu,t)、Slerp(qu,q1,t)插值同樣得到qu處的導數D2(節點t=1)、D3(節點t=0)，經過推導發現三者並不相等，而是D2=u*D1，D3=(1-u)*D1。
請教高人指點！
14樓：
先把覺得非常有用的link po上來， 回頭有空再答https://
如何形象地理解選擇公理
陳斌 任何非空集存在真子集。簡單的說，如果乙個裝水果的袋子裡不是空的，總能從袋子裡扔掉乙個水果。我感覺在是說集合裡的元素都是乙個個的，斷不會有0.5個，或者根號2個。 李澤龍 假設你面前有兩堆蘋果每堆九個，要求你每一堆選乙個放到乙個地方形成第三堆，那麼你可以把每堆每個蘋果標號從一到九，選其中標號三的...
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張子凡 你不覺得相似與合同的定義很像麼？若C正交時，則有 即 由此可見，相似是合同當C正交時的一種特例。相似是線性變換的恰到好處。合同是線性變換的沒那麼完美，但也是有一些性質可用的。我的部落格 五塊蛋糕 相似是同乙個線性變換在不同基下的矩陣，這個好理解。下面說一下合同吧。合同是同乙個二次曲線 用二次...
如何形象地理解 邊際 這一概念？
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