1樓：楓聆
最近再思考這個問題，來強行答一波
對偶空間的直覺，大概是為了求解線性方程組而引入的概念，想想我們在解方程組的時候，用到最多的方法是用某一行去加上（減去）去另一行，還可能用某一行的整數倍加上（減去）另一行，而每一行等式可以用乙個linear map來表示，這不正是符合vector space 裡面的axioms嗎？所以全體的linear maps 構成了乙個 linear forms？其實不需要去很深刻解讀它內涵，它最開始的直覺就是為了解線性方程組而提出來的東西，線性方程組的解又是乙個subspace.
還有乙個我覺得很奇妙的理解。
2樓：青春
關注這個問題很久了，也看了所有的回答。我想題主想要的可能是像想象乙個平面（向量空間）那樣來想象對偶空間的方法，但是下面的回答中沒有乙個答案真正體現了這種意義上的「形象」。索性自己來嘗試。
以下只考慮有限維空間V。
首先，我們為什麼能很容易的想象線性空間呢？因為我們的潛意識裡早已把乙個向量看成是從原點出發的箭頭，也就是說之所以我們能想象出向量空間V，是因為我們能形象化地想象其中的元素。
定義上來說，對偶空間V*是所有定義在V上的線性函式的集合。所以想象對偶空間的第一步就是得想辦法想象出線性函式。
任意取V*中的乙個元素f，它是定義在V上的線性函式。實際上確定這個線性函式只需要最關鍵的兩個資料就行了：
Ker(f). 也就是滿足f(v)=0的那些向量v的全體。
S(f)=
線性代數的知識告訴我們，Ker(f)是V的線性子空間，而且維數恰好比V的維數小1，也就是說Ker(f)是V中過原點的乙個超平面。S(f)實際上跟Ker(f)差不多，只不過它不過原點，也就不是線性子空間，它其實是乙個跟Ker(f)平行的仿射超平面，這一點應該很容易理解。
如果給定了線性函式f，那麼也就確定了Ker(f)和S(f)這兩個超平面；反之，一旦給定了Ker()和S()這兩個超平面，那麼我們可以斷言，一定存在唯一的線性函式f，使得它的Ker和S()就是你所給定的。
我們以2維為例，
圖中虛線表示給定的Ker，實線表示給定的S(). 由這兩個資料所確定的線性函式f是怎樣的呢？隨便取乙個向量OP，如果P落在虛線上，那麼f(OP)=0；否則的話，向量OP所在直線會和S()（也就是實線）相交於一點Q，假設OP向量=kOQ向量，那麼f(OP)=f(kOQ)=kf(OQ)，而Q落在實在線，所以f(OQ)=1.
於是f(OP)=k.
而且虛線和實線之間的距離可以定性的反應所對應的那個線性函式的大小。虛線與實線離得越遠，那麼對應的線性函式的取值就越小；離得越近，對應的線性函式的取值就越大。
通過以上例子，讀者現在應該明白：每乙個線性函式一一對應一對虛線和實線，其中虛線過原點，實線與虛線平行。
既然一一對應，那麼我們就把這一對虛實線當成乙個線性函式好了。所以現在在你的腦海裡應該建立這樣一幅直觀影象：V上的乙個線性函式就是一對虛實線，高維的話就是一對超平面。
那麼對偶空間的直觀影象也就呼之欲出了，V*就是一對對這樣的虛實線的全體！
這樣我們一定程度上「形象地」想象出了對偶空間。
3樓：jRONI
小學乘法就是最簡單的對偶空間，我們用稍微現代點的符號來描述乘法，作為乙個二元封閉運算：
這已經可以視作對偶空間了。按照慣例，乙個線性空間 的對偶空間記為 ，那麼上式作為對偶空間應該寫為：
乘法在這裡是要去掉交換律的（拋棄小學的直觀），沒有交換律的話，這種結構可以方便地推廣到有限和無限維的向量。有限維的例子：
這裡的向量 是行向量，向量 是列向量，乘法按照矩陣乘法，相當於內積。無限維的例子，以量子力學最常見的復平方可積的Hilbert空間上的通常內積為例：
理解了(2)後面一切都好理解。為何乘法可以構成對偶空間呢？首先我們應該理解， 是線性空間 中的向量，這樣 就是線性函式，將(2)寫成函式的對映：
簡單到無聊，但這種寫法可以突出 作為函式的特點。值得指出的是，雖然對映 兩邊都是 ，但第乙個 是作為線性空間，第二個 是作為域，在(3)(4)中看得更清楚。按照定義，作為線性函式的 就是對偶向量，而 所在的空間 就是對偶空間。
可是我們在小學理解的不是 嗎？沒關係，當我們把它理解為 時，它就是乙個函式，所以 。反過來呢？
一樣可以構造：
作為向量的 ，反過來也可以作為函式 ，作用於對偶向量 ，這時候作為向量的 ，也是對偶向量 的對偶向量，所以可以記為 。幸運的是： ，於是一切都搞定。
4樓：Jason Huang
Dual space的應用：環太平洋機甲了解下？
Quora上的乙個回答很形象，以下為引用：
5樓：四野秋蟲
寫個簡明扼要的分析吧。
在定義來看對偶空間只是線性泛函的全體，這是個十分抽象且不好操作的物件。所以需要一種辦法讓大家形象的理解對偶空間。那就是找同構，用同構的空間去表示對偶空間。
令 與 是一組空間與其上的對偶空間，顯然維數均為 。後令 為 上的一組基， 因為有限維線性空間可以被基唯一確定，且確定線性空間的基彼此同構，故可以把空間的變化問題轉化為基變化的問題，可見這樣更好操作。
1，找上的基,
令對 的作用為提前元素關於基的第 個座標，易知為 上的一組基。且 ,因為基底關於自身的座標為1，關於其他的為0,。
2，研究對 的作用
,令 ，故 ,可見作用 是well-defined，即
故 ，很好的結果，但這還不夠。
3，研究 上的性質
令 , ，令 ,
此時有 。
可見 對 的作用線性泛函與給定的 相同。
4，水到渠成
做乙個簡單的同構對映，雙射的性質可以在前面看出，
故在同構意義下 。
對偶空間也叫做共軛空間，像這種二次共軛等於自身的空間，數學上稱作自反空間。
既然看到標籤裡有泛函分析，那再從泛函分析的角度說一下對偶空間，像我們熟知的例子 ,其中 或 ，思路與之前一樣，還是找到同構的空間，這樣就把抽象的物件便具體了，下附的證明，從中可以看出證明裡在做的就是構造同構對映去表示對偶空間：
同時因為 ,所以它不是自反空間。
btw，至於reisz表示定理為什麼要叫表示定理就很顯然吧。
6樓：馬同學
來看一副對聯：
上下聯說的基本上是對的（不考慮直線不相交、點重合等各種特殊情況）。
這兩句話其實就是乙個「對偶」，我猜測「對偶」這個詞取名就來自於和中國詩歌、對聯的模擬（沒找到「對偶」這個詞的來歷）。
1 對偶的歷史
1.1 出現
18、19世紀的數學研究者發現，涉及平面圖形的定理如果把「點」換成「線」、「線」換成「點」重述一遍，不但話談得通，而且竟然是正確的。
舉個例子，比如直線的方程為：
影象是這樣的：
上面是把 作為變數畫出來的影象，只是憑什麼 不能作為變數？
在 上固定一點 ，作出 （ 是 點的 座標， 是 點的 座標）：
看著也沒什麼了不起的。
但是，如果 點運動起來的話：
可以看到：
在直線上運動，可以認為運動的 點就是直線
對應的無數條 交於一點
上面兩句話寫成「對聯」的話就是：
點動成線
線動成點
其實，文章最開頭的「兩點決定一直線」和「兩線交於乙個點」也可以從這裡推出。
更進一步：
數學家把「點」和「線」的關係總結為對偶。
1.2 對偶的作用
有這麼兩個對偶定理：
圓內接六邊形，相對的邊的交點共線
圓外切六邊形，相對頂點的連線共點
第乙個稱為帕斯卡定理，第二個稱為布列安桑定理，圖示如下：
帕斯卡定理於2023年發現，布列安桑定理於2023年發現，要是早知道「點線對偶」就不用等待100多年的時間了。
補充一點，這兩個定理，中間還有「內接、外切」對偶、「相對的邊、相對頂點」對偶，真的蠻像中國的對聯一樣，要求處處對偶。
我們可以這樣總結，對偶的作用是：
證明了乙個定理，則對偶定理也被證明了
如果布列安桑定理證明很麻煩，我們就可以轉為它的對偶問題，去證明帕斯卡定理
1.3 發展
數學家的任務就是把剛才的發現給抽象出來，以便有更廣的適用範圍。我們來看看是如何抽象的
揭示點線對偶的實際就是直線方程：
可以寫成（ 是乙個線性函式）：
為了更廣泛的表示不同維度的情況，把 寫作 ：
之前提到的「點動成線」實際上就是 在變化：
「線動成點」則是 變化：
我們可以認為：
代表點，而：
代表線。定義 為 的對偶空間。
上面的定義雖然不嚴格，不過基本上就是線代裡面的對偶空間了。
2 廣泛存在的對偶
有了「對偶」的認識之後，我們發現現實中廣泛的存在類似的「點線關係」。
比如做功：
其中 。
容易看出， 與 相當於「點」與「線」的關係。
根據這個對偶可以得到一些物理結論，具體可以參看 這裡 。
在很多學科中，還有各種各樣的對偶關係，我也不是很清楚，這裡就不舉例子了。
3 另外乙個視角
這個直線函式：
如果把 都看作變數，那麼：
實際上是乙個四維空間的曲面。
不管固定 還是 ，得到的直線其實都是這個曲面的一部分。
或許可以這麼理解， 和 之間的對偶，是因為它們處於更大的系統之中。
線性空間的對偶空間和優化裡的拉格朗日對偶有什麼關係？
落落大方的發卡 首先你要明白對偶問題的實質是什麼，乙個簡單而深刻的原理 閉凸集外一點到這個凸集的距離，恰好等與這個點到所有分離這個點與凸集的超平面的距離的上確界。求一點到凸集的距離，這是乙個最小化的問題 求一點到若干超平面的距離最大值，這是乙個最大化問題。事實上，在泛函分析中，每個超平面都能與乙個線...
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