1樓：天下無難課
Ptolemy講的好，反過來再講一遍。
按定義，對於乙個n階方陣A，如果它要能與乙個對角矩陣B相似，其充要條件就是要能找到乙個可逆矩陣P，使得A=PBP。
根據題主給的條件，A有n個線性無關的特徵向量，那麼，是不是就一定能找到這個P呢？
我們來試一下。如果n階方陣A有n個線性無關的特徵向量，這意味著有n個特徵向量(x,x,…x)和n個值(λ,λ,…λ)，對於它們，Ax=λx成立，其中λ是對應特徵向量x的特徵值。
把所有這些特徵向量框到乙個組裡，就有A(x,x,…x)=(λx,λx,…λx)。這個(x,x,…x)是乙個向量組，也就是乙個矩陣麼，設其名為P；而等式另一側為(λx,λx,…λx)，則是矩陣P和對角矩陣B的乘積，B的主元是(λ,λ,…λ)。這樣，就有AP=PB，其中B是乙個對角矩陣，主元是A的n個特徵值，P是由A的n個線性無關的特徵向量組成的方陣，可逆。
P可逆，由AP=PB可得到A=PBP。
只要這個式子可以成立，根據定義，A就與B這個對角矩陣相似了。
你看，妥了，只要A有n個線性無關的特徵向量，只要用這n個特徵向量作為列向量來構造乙個n階方陣，它就能成為A=PBP裡的那個P，使A妥妥地與對角矩陣B相似，而B的主元正好是每個特徵向量x對應的特徵值λ。
既然這個條件是乙個充要條件，有它就有"相似"，相似就必須有它，那也就是說，方陣A只會與由自己的特徵值為主元的對角矩陣相似，而P則是由A的n個線性無關的特徵向量構成的。原來A與B、P的關係很深呀，不是A=PBP這個表示式咋看起來那麼一般化，人家是特殊關係戶來著。
2樓：microball
令 為相似變換 (把矩陣 對映到矩陣 )。幾何上來說，相似變換可能是一些拉伸，旋轉，鏡射的組合，但不能含有降維拍扁的操作 (否則 就無法定義了)。
注意到，若 是 的特徵向量，則 是 的特徵向量。若有一組線性無關的向量 ，則相似變換後的向量 還是線性無關的 (令 , )。另一方面，如果有一組線性相關的向量 ，則相似變換後的向量 還是線性相關的 ( 令)。
因此 "線性無關" 跟 "線性相關" 的性質在相似變換中是被保留下來的。對角矩陣顯而易見有一組線性無關的特徵向量 ()，因此從對角矩陣出發，做任何相似變換，特徵向量之間仍然線性無關。相反的，如果有任何矩陣 經過相似變化後對映到某個對角矩陣 ，那麼 的特徵向量一定都是線性無關的。
2. 令 為酉相似變換，其中 是酉矩陣，滿足 。幾何上來說，酉相似變換可能是一些剛體旋轉，或在複數空間中的旋轉，但任意向量的范在變換後都必須跟變換前一樣。
同樣的，若 是 的特徵向量，則 是 的特徵向量。若有一組兩兩正交的向量 ，則酉相似變換後的向量 還是兩兩正交的 (令 , )。若有一組不是兩兩正交的向量 ，則酉相似變換後的向量 也不可能是兩兩正交的:
令，則有 ，其中 不是零矩陣 (否則跟前提矛盾)。那麼，
而我們注意到 也不可能是零矩陣。
因此 "兩兩正交" 跟 "非兩兩正交" 的性質在酉相似變換中是被保留下來的。對角矩陣顯而易見有一組兩兩正交的特徵向量 ()，因此從對角矩陣出發，做任何酉相似變換，特徵向量之間仍然兩兩正交。相反的，如果有任何矩陣 經過酉相似變化後對映到某個對角矩陣 ，那麼 的特徵向量一定都是兩兩正交的。
3樓：塵一凡
矩陣本質就是線性變換在某組基下的表示。矩陣對角化就是，把特徵向量作為基，線性變換在這組基下就是對角矩陣。幾何意義就是沿著特徵向量方向進行放縮，對角化本身就要求有n個放縮方向，所以就是要求有n個線性無關的特徵向量。
設A,B為n階方陣,且AB BA A,證明 A 0 ？
亦可用李代數中的不變引理來做 顯然由對易關係知 A B張成乙個solvable Lie algebra 由Lie s定理知存在一組基使得他們同為上三角陣帶入已知得到A對角線均為0 故A的行列式為0 2prime 反證加上算I A 1A的trace發現是0就是kuchler答案後面跟上B和B I相似的...
為什麼 A 為 n 階滿秩方陣時，Ax 0 只有零解？
Strong A a1,a2.an X x1,x2.xn AX a1,a2.an X a1x1 a2x2 anxn 0,由於a1,a2.an線性無關，x1 x2 xn 0所以X 0只有0解 aboveground 從幾何直觀角度解釋，ax理解為內積，解ax 0相當於找與a正交的向量空間，總共為n維空...
該如何理解「相似相吸」這一理論？
揚西 不是相似相吸，而是相吸相似，每個人都有自己的性格和氣場，就像磁力一樣，不信的話，當你在公開場合發表自己的意見和看法時，被你吸引的永遠都是和你相似的。由於各種外力原因碰巧走在一起的人不在此列。 lcrandrew Similarity and complementarity我們會被和我們相似的人...