1樓：
Mbius 反演公式的一般情況幾乎是平凡的，這個回答給出它的陳述並歸約到它的數論版本上（基本上和李文威的《代數學方法》裡第五章的那個證明是一樣的）。
稱偏序集 為區域性有限的，若 對任意的 都是有限的。
對區域性有限的偏序集我們可以定義乙個函式環 ，由函式 組成，其中加法為逐點相加，乘法定義為 ，單位元為 Kronecker delta 。
這個環中的元素有左逆等價於在對角元上非零 等價於有右逆，以左逆為例，展開其定義無非是 ，有左逆顯然意味著對角元非零，反過來對角元非零就可以除掉對角元來算出左逆。
我們定義 Mbius 函式 為函式 的逆（滿足 ），顯然由前面的公式 Mbius 函式的值為整數。如果定義中的偏序集為某個有限集的一些子集的集合，偏序關係由包含關係給出，那麼 Mbius 函式無非是容斥定理中出現的係數。
為交換群，偏序集 滿足 有限，那麼顯然它是區域性有限的，並且對於任何函式 ，有 。
證明幾乎是平凡的：左→右 ；左←右 。
作為一般版本 Mbius 反演的乙個應用，我們證明色多項式 （圖 用 種顏色染色使得相鄰頂點顏色不同的方案數）確實是個多項式並給出它的表示式。我們取偏序集為 的子圖， 若前者是後者的縮並。不考慮相鄰頂點顏色不同的約束，染色方案數顯然為 種，把相鄰頂點顏色相同的點縮並掉就得到了子圖的乙個符合約束的染色，所以我們有 ，由 Mbius 反演立刻得到 （Mbius 反演的這個應用在凝聚態物理中有用）。
對一族區域性有限偏序集 ，對幾乎所有的指標（除了至多有限個外）選定元素 ，定義限制積 ，偏序關係定義為 ，那麼限制積仍然是區域性有限的並且 Mbius 函式由 給出。
在區域性有限偏序集 上 Mbius 函式顯然為 （其他都是 ）。
現在我們考慮正整數的整除偏序 ，它顯然是區域性有限的，並且由算數基本定理我們有偏序集的同構 （ ），其中限制積的定義裡我們對所有 選擇 。根據限制積上 Mbius 函式的構造，我們有 。記 ，顯然 （若沒有非平凡的平方因子，否則為零），並且 ，這樣我們就得到了數論版本的 Mbius 反演：
。作為乙個平凡的應用，考慮尤拉函式 ，有恒等式 （考慮 ，化成最簡分數後 即為分母為 的元素個數），那麼由 Mbius 反演顯然有 。
2樓：阮行止
我們嘗試從狄利克雷卷積的角度來證明莫比烏斯反演定理。個人認為這是最輕鬆愉悅的證明方式。
預備知識：
狄利克雷卷積：對於數論函式和，有
我們把上面中的「」稱為狄利克雷卷積。
定義單位函式：，即時，否則。它是狄利克雷卷積的單位元。
定義「」函式：。
證明：
我們先將原命題化成狄利克雷卷積的形式：
已知，求證。
由於單位函式的性質，任何函式卷上它都仍然是自己。因此。
根據莫比烏斯函式的定義，有：
因此上面的式子化為：
兩邊去掉「1」（即同時卷上「1」函式的逆元），得到：
命題得證。
3樓：
用 Riemann Zeta 函式和 Dirichlet 生成函式可以看出這是顯然的，貼圖，強烈要求知乎增加從 OneNote 發布答案的功能！
4樓：Syu Gau
首先定義幾個概念：
1，卷積：
設是兩個數論函式（也就是說，以自然數集為定義域的復數值函式），則卷積運算定義為
可以證明，卷積運算滿足：
1）交換律：
由定義顯然。
2）結合律：
考察兩邊作用在上，左邊是
右邊是故兩邊相等。
3）存在單位元使得
我們需要
故不難猜到應該定義為
事實上，直接驗證可得
以上說明數論函式在卷積意義下構成乙個交換群。
2，乘法單位元
上面的是數論函式在卷積意義下的單位元，而普通乘法意義下的單位元顯然是把所有自然數都映到1的函式，記作。
3，莫比烏斯函式在卷積意義下的逆元，稱為莫比烏斯函式。也就是說是滿足
的唯一的數論函式。
把這個表示式寫開就是
…………(*)
通常，莫比烏斯函式定義為
；，如果能寫成個不同素數之積；
，其他情況。
按照這種定義不難證明(*)式。
對於，(*)式成立；
對於，用算術基本定理把寫成
於是現在來看看莫比烏斯反演說的是什麼呢？
當且僅當
換而言之，
證明：反之
如何評價電影《莫比烏斯》
千江雪 如果說慾望是一條莫比烏斯帶，那麼痛苦與快樂就是它的兩面。慾望給人帶來快感的同時，也帶來痛苦，兩者互相轉換，沒有界限。只有死去，或者摒除慾望 成佛 才能解脫。 Saesang 雖然我並沒有太看懂 但是可以通過那兩個僧人的鏡頭感受出一點和標題 莫比烏斯 相聯絡的意味的。無論怎樣，不是我針對誰，我...
如何解釋 莫比烏斯環 ？
知了 莫比烏斯環的形成很簡單，把一條紙兩頭反過來接上，不管你從哪乙個點出發，繞了半圈似乎已經繞出去，但再繼續繞半圈後，又會發現回到原點。通俗點，我們就叫它死迴圈模式。莫比烏斯之環，就是無限迴圈的乙個象徵。比烏斯帶是一種拓展圖形，它們在圖形被彎曲 拉大 縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使...
莫比烏斯帶上的棋盤？
胡天碩 首先這相當於在15x15的棋盤上加上四面鏡子，只要鏡子裡的影像有五連也算勝利。如果棋盤大小不變，這個問題其實很好回答 先手黑棋必勝。只需要思考乙個問題，為什麼先手黑棋第一步要下天元 棋盤中心 呢？最直觀的認識是天元離棋盤的各個邊界最遠。有些開局不能黑棋必勝就是因為採取了15x15的開局，如果...