1樓：劉添億
中學階段的無理數定義：不是有理數的實數是無理數。這樣的定義實際是實數和無理數的迴圈定義，是不合適的。
我們試圖用有理數定義無理數，而不用實數定義無理數。
乙個比較囉嗦的定義是：
假設分有理數為A和B兩類，使其滿足於下列條件：（1）兩類均非空集，（2）每乙個有理數必屬於一類，且僅屬於一類，（3）屬於A類（下類）的任一數小於屬於B類（上類）的任何數，這樣的乙個分類法稱為分割。
（а）若或是下類A有最大的數，或是上類B有最小的數，則分割A/B確定乙個有理數。
（б）若A類無最大數，而B類亦無最小數，則分割A/B確定乙個無理數。
有理數和無理數統稱為實數。
2樓：fft-differential
pdf：
實數的構造理論
ppt:
自然數的定義
從自然數到有理數
實數的構造
數學中的數, 就像物理中的時間一樣, 人人都知道, 唯獨專家們不這樣理解它Zorich
（當然我不是專家，我只是個搬運工）
3樓：老堪
一般地，數是有單位的。有單位的數是有理數，有理數由數及其單位構成。有理數(a)是可以用分數(b/c)來表示數，在這裡，b是這個有理數的數，c的倒數(1/c)是它的單位，b及其單位1/c共同構成這個有理數。
自然數是特殊的有理數，自然數(b)的單位是1/1，其分數形式是b/1，b即是自然數。自然數也即單位為「1」的數。只有單位為」1」的數才可以做為有理數的單位。
沒有單位的數，或其單位，或者其單位的單位不是」單位為1的數(自然數)或分數」，我們就叫它」無理數」，因為我們不能用自然數或者分數來理解它的單位是多少。
起初，人們認為無理數不是數。人們想：」搞不清單位是什麼的數，我怎麼知道你說的是幾？
沒道理嗎！」其實它只是一種特殊的數而已。當然了，後來人們還是接納了它，也把它作為一種特殊的數來看待，但是沒有叫它」特殊的數」，而是叫它「無理數」。
4樓：寒樹
無理數的定義依賴於有理數，無理數集即是有理數集相對於實數集的補集，而有理數集Q=
無理數「包含」另乙個無理數嗎？
hhh 可以，設A 0.101001000100001 然後10.101001000100001 即為所求。A被這個無理數包含了。 南宮空竹 感謝各位大佬的回答！不知道怎麼撤回問題，或者修改問題 原諒我，技術捉急！權當更新 提出問題的第二天，看到各種回覆後，發現我是上一秒滿心歡喜，下一秒直接被啪啪啪...
無理數有什麼作用？
Snoopy.Xiao 1，無理數比有理數多 2,從認識論角度是偉大的進步 3,我也說不清有什麼用，但一直認為很有用。連小學生都可能遇到無理數的問題。 Jiayi Wang 無理數與有理數構成了實數集，實數集的構造是為了在有理數的基礎上拓充數係使其具有確界原理 完備 即任何乙個有界的實數子集的上確界...
為什麼根號二是無理數，而不是有理數與無理數之外的數？
薛丁格的貓 陳寧聰 這可以歸結到實數的完備性，而完備性的乙個構造性的說明方法就是，實數可以定義成有理數的柯西序列的等價類 粗略的說，兩個序列的逐項差得到的序列收斂到0，或者說它們極限相等，就是等價的 而我們研究以後發現，這些等價模擬有理數多的多，剩下的那些我們就叫無理數了。舉例而言，下面兩個序列是等...