1樓：Snoopy.Xiao
1，無理數比有理數多
2,從認識論角度是偉大的進步
3, 我也說不清有什麼用，但一直認為很有用。連小學生都可能遇到無理數的問題。
2樓：Jiayi Wang
無理數與有理數構成了實數集，實數集的構造是為了在有理數的基礎上拓充數係使其具有確界原理（完備），即任何乙個有界的實數子集的上確界/下確界在實數集中
舉個例子，考慮S=這個集合，可以通過一定的構造證明Sup S不在Q中，實數集就是為了讓這樣的集合的確界能被找到。（事實上我們知道Sup S是根號2，也可以證明這不是個有理數）
3樓：hhh
你在低估無理數的作用嗎？
很有作用。因為無理數是數軸(實數)的主要部分，無理點是物體的主要部分，而有理數只是一堆稠密而離散可數的點。如果沒有無理數，世界是空的，是虛無的，因為有理數是可數的。
去掉有理數，那麼世界的表面和原來並沒啥區別，但一開始認知時就麻煩了，去掉無理數，世界就不復存在，是一堆點組成的虛無的空間。有理數雖然稠密，但是不連續，在幾何上，經常碰到無理數，而且無理數的數學意義很廣闊，比有理數廣闊的多，比如開方開不盡，就用無理數，對數算不出，也是無理數，還有類如πe那類的，同時構造出的數，也有無理數的存在，還有之後的乘方以上的運算，只要在實數範圍內有意義的，都是無理數(比如反階乘(如求幾的階乘是3)，也用到無理數)。而且，我們能認知的無理數，只是無理數集中可數的一小部分，還有一大堆無理數是定義不出來的……簡單點，沒有無理數，你知道怎麼求正方形的斜邊，怎麼求圓的周長面積？
4樓：清風
為什麼「要」有該怎麼回答？我們可以用一些具體的構造中證明無理數的存在，無理數本身也把有理數擴充成完備的實數，為什麼有是無法回答的，但無理數確實存在在數軸上。應用的話pi，e在計算中都非常廣泛。
5樓：Koutsengseki
從幾何上，最著名的例子就是邊長為1的等腰直角三角形的這邊長為根號二了。
通過這個我們知道了在數軸上有理數之間似乎存在其他的數，或者說有理數並不完備。
實際上，實數的完備性理論是為了微積分發展的需要才建立起來。我們能構造出乙個有理數數列但它是收斂於乙個無理數的。所以為了解決這個問題，必須需要乙個具有完備性的數系。
什麼叫無理數？
劉添億 中學階段的無理數定義 不是有理數的實數是無理數。這樣的定義實際是實數和無理數的迴圈定義，是不合適的。我們試圖用有理數定義無理數，而不用實數定義無理數。乙個比較囉嗦的定義是 假設分有理數為A和B兩類，使其滿足於下列條件 1 兩類均非空集，2 每乙個有理數必屬於一類，且僅屬於一類，3 屬於A類 ...
無理數「包含」另乙個無理數嗎？
hhh 可以，設A 0.101001000100001 然後10.101001000100001 即為所求。A被這個無理數包含了。 南宮空竹 感謝各位大佬的回答！不知道怎麼撤回問題，或者修改問題 原諒我，技術捉急！權當更新 提出問題的第二天，看到各種回覆後，發現我是上一秒滿心歡喜，下一秒直接被啪啪啪...
為什麼根號二是無理數，而不是有理數與無理數之外的數？
薛丁格的貓 陳寧聰 這可以歸結到實數的完備性，而完備性的乙個構造性的說明方法就是，實數可以定義成有理數的柯西序列的等價類 粗略的說，兩個序列的逐項差得到的序列收斂到0，或者說它們極限相等，就是等價的 而我們研究以後發現，這些等價模擬有理數多的多，剩下的那些我們就叫無理數了。舉例而言，下面兩個序列是等...