1樓：
只要存在等價關係（滿足自反性、傳遞性和對稱性的關係），就可以不重不漏地分類
最簡單的比如按除以3的餘數分類，這裡的等價關係是同餘
你所謂的「分成4類，6類也不難」我不知道指什麼，如何就比「分成3類」容易了
2樓：鼠麴草
關於說任意劃分都能滿足的，要考慮怎麼理解「均分」。按常理來理解，應該每個足夠長的自然數區間上分到任意乙個類的頻率都接近1/3。這個分法就很多了，只要你能保證把每個自然數分到任意乙個類的概率都接近1/3。
3樓：MAN
第一種是直覺的分法，例如麻將分類法：1,4,7/2,5,8/3,6,9開頭或者任意三三一組，在有窮範圍內3組數量均等，推論「無窮」也是「數量均等」。
第二種是反直覺分法，利用無窮集合理論，將自然數任意分成3個無窮子集，則每個的「元素個數」相等。例如1開頭的一組，2開頭的一組，餘下一組。在有窮的範圍內一定不成立，只在無窮下成立。
第二種分法除了體現了所掌握的集合論的知識外，沒有任何意義。
實際上已經有人回答了，無窮集合「元素個數」無窮大，或者說「個數」的概念沒有意義。既然沒有個數，如何均分？所謂均分，必須是確定的數量，例如，自然數排列到很大、我們用n→∞表示，但這本質上還是乙個有窮集合，才可以運用運算法則。
4樓：王偉麟
「所有」自然數是無限的。樓上已經有不少答主說過了，利用無限的特性，有很多反直覺的均分方法。
如果是特定個數的連續自然數，比如「3億個連續的自然數」，其實也簡單，並且小學生也能夠想得到。把它們分成以下三類即可：
被3整除的數
被3除餘1的數
被3除餘2的數
5樓：執悲今厄
純粹數學了解一下：
零數集：0.0.0.0.0……
模一餘零數集：0.1.
2.3.4……（自然數集）模二餘零數集：
0.2.4.
6.8……（偶數集）模二餘一數集：1.
3.5.7.
9……（奇數集）模三餘零數集：0.3.
6.9.12……
模三餘一數集：1.4.7.10.13……
模三餘二數集：2.5.8.11.14……
模四餘零數集：0.4.8.12.16……
就這樣，可以定義所有的模n餘m數集，其中n是正整數，m是自然數，n＞m。而你的問題的答案就是『模三數集』。
順便一提的是：模n數集（n＞2）在本宇宙中沒有應用價值。模一數集應用於一切問題，模二數集（奇偶數）在負底數的指數問題、雙階乘問題、超球體問題等問題中也都有必要的應用，而模三數集就已經一無是處了。
只有不以應用為目的的純粹數學才會研究它的性質。
6樓：李白不喝水
你可能做過這個題
令k=Z
2k+1和k的數量是一樣多的
涉及到自然數/整數集的無窮性，你這個問題是不成立的，也就是題目不對！！
7樓：Asdo
事實上，對整數（有理數也可以）而言，任意乙個分法，只要三類都是無窮個，都是均等的。
比如個位是0，個位是1，其他。
1.31更新：
那我來科普一下吧：
問題是均分自然數，即把自然數分為3份，且每份「一樣多」，這裡用引號，是因為我們對於無窮集並沒有定義過「個數」，自然也就沒有「個數」的多少。
實變中是這樣定義無窮集和無窮集元素個數的相等的：若 ，且f是一一對映，就稱AB元素個數相等。顯然有限情形符合上述定義。
那麼我提到的結論，我把它寫成乙個命題：
命題1： 是自然數集的乙個分割（兩兩不相交且並集為自然數集），只要 都是無窮集，這三個集合元素個數就「相等」
證明要用到可列（可數）的概念，通俗的說就是可以排成一列，每個數與自己的編號一一對應
每本實變中都有這樣的結論：自然數可列；可數集的子集至多可數。
證明也很簡單：ABC作為自然數的子集都可數，都可以與自然數建立一一對應，於是ABC之間也能建立一一對應，於是ABC集合元素個數相等。
8樓：VNVM
1. 一 .0 3 6 9 12等 型別的數。
二 .1 4 7 10 13等模3時1的的同餘類。
三 .2 5 8 11 14等除3餘2的數。
一般的，對於 來說，總可以分為 種。
1.5. 很自然的，如果是整數呢？
顯然同上，略。
2. 如果是有理數呢？
觀察下面的分數序列 ,,,……（即將相鄰分子分母相加，做法來數列）將其中的分數按出現的順序排序： ……可以證明，每個非負最簡有理數都出現且僅出現一次。（當然，1/0不是分數）將每乙個正有理數後面都接上其相反數，（），將其按順序分為三類即可。
3. 如果是實數呢？
按照上面的思路，就應該先把實數集排個序，然後依舊按順序分為三類。可實數集不可數，目前似乎沒有這樣的可構造的「順序」。不過眾所周知 與正實數集可以構造雙射。
同理， 可以同實數集一一對應。於是 , , 三個集合可以分別對應實數集的三個部分。至於結果則由所取雙射不同而不同。
3-2. 無理數可以同實數集進行雙射，因此無理數也可以分為三部分。
3.5. 有了實數集，那複數集將會十分簡單。考慮複數 , 在實數集裡是哪一部分，在複數集裡也是哪一部分就好了。
9樓：小雨可白
這個還是很簡單的，平常一點的，可以把其分為 這三類數。
舉個例子
當然還有其它分法，分為 這樣的。
我就不過多贅述了。
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